Question

Olá amiguinhos mais uma vez eu estou aqui de humildemente em busca de ajuda. Por favor me ajudem! Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis.
a) (3x² +4)dx + (6y² + 2y)dy = 0

Answer 1

$(3x^2 +4)dx + (6y^2 + 2y)dy = 0$

Queremos encontrar uma função $z=f(x,y)$ de modo a ter $dz=(3x^2 +4)dx + (6y^2 + 2y)dy = 0$, ora, mas o diferencial de uma função de duas variáveis $z=f(x,y)$ é dado pelo Cálculo como sendo:

$dz=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy$

Então, por comparação devemos ter:

$\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=3x^2+4$
$\implies f(x,y)=\int{(3x^2+4)dx}+\phi(y)$ (Some na derivação em x)
$f(x,y)=x^3+4x+\phi(y)$ (*)
E também por comparação:
$\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=6y^2+2y$
Ora, mas de (*) vem:
$\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\phi'(y)=6y^2+2y$
$\implies \phi(y)=\int{(6y^2+2y)dy}$
$\phi(y)=2y^3+y^2$

Logo $z=f(x,y)=x^3+4x+2y^3+y^2$

$dz=0 \implies f(x,y)=c\\[\tex] [tex]x^3+4x+2y^3+y^2=c$