Question

Amigos mais uma vez humildemente venho em busca de ajuda. Quem puder me ajudar, serei bastante grato. Resolva a equação linear de 1ª ordem a seguir:

xy` + 4y = 7x²
Obs.: para que o amigo ou a amiga não se confunda, o primeiro termo desta equação é xy linha.

Answer 1

Boa noite!

Dividindo-se a equação por x, teremos:
$y'+4\dfrac{y}{x}=7x$

Esta equação se encaixa no modelo:
$y'+P(x)y=Q(x)$

$P(x)=\dfrac{4}{x}$
$Q(x)=7x$

Cuja solução usa o fator integrante:
$e^{\int P(x)\mathrm{d}x}=e^{\int \dfrac{4}{x}\mathrm{d}x}=e^{4\ln{x}+C}=x^4.e^C=k.x^4$

O fator integrante multiplica ambos os lados da equação:
$k.x^4\left(y'+4\dfrac{y}{x}\right)=k.x^4(7x)\\x^4.y'+4x^3y=7x^5\\\dfrac{d}{dx}(x^4.y)=7x^5\\x^4.y=\int 7x^5\mathrm{d}x\\x^4.y=\dfrac{7x^6}{6}+K\\y=\dfrac{7x^2}{6}+\dfrac{K}{x^4}$

Espero ter ajudado!