Question

(QUESTÃO 05 – MACK) Numa progressão aritmética de 100 termos, a3 = 10 e a98 = 90, a soma de todos os termos é:? gostaria de saber, por favor.

Answer 1

Bom dia.

A nossa P.A.  tem  n=100   logo  a(n)  = a(100)

A soma dos termos de uma P.A.  é dada pela fórmula :
 
S(n)= {n*[a(1)+a(n)]} / 2

Dois termos   a(p)  e  a(q)  são equidistantes dos extremos se p+q = n+1 ,

nesse caso temos [ uma propriedade diz que ]  a(p) +a(q)= a(1)+a(n).

Observe que : 3 + 98 = 1+100 = 101

Aplicando ao nosso problema temos : a(3)+a(98)=10+90 = 100  e  

a(3)+a(98) = a(1)+a(n)  ⇒ a(1)+a(n) = 100   levando na fórmula fica

S(100) = (100* 100) / 2 = 10000 / 2 = 5000

Resposta : S(100) = 5000

Ver detalhes no anexo

Answer 2

A soma de todos os termos desta PA é igual a 5000. Para resolver esta questão utiliza-se a fórmula do termo geral e da soma de uma progressão aritmética (P.A).

O que é uma progressão aritmética

A progressão aritmética é uma sequencia numérica na qual os valores são somados em uma taxa constante. Esta P.A possui a seguinte progressão:

(a1, a2, 10, ..., a97, 90, a99, a100)

Para encontrar a soma de todos os termos temos que encontrar o primeiro (a1) e o último (a100) termo desta progressão. Para isso temos que utilizar a fórmula do termo geral de uma P.A para os termos que conhecemos:

an = a1 + r*(n - 1)

Onde:

• a1 é o 1º termo da P.A
• an é o termo da P.A que buscamos.
• r é a razão, ou seja, é a taxa em que a P.A varia.
• n é a posição do termo na progressão que queremos encontrar

Em seguida será calculada a soma dos 100 termos desta P.A. A fórmula da soma dos 100 termos de uma P.A é a seguinte:

S = [(a1 + a100)*n]/2

Encontrando o valor de a1

Substituindo os valores para a3:

a3 = a1 + r(3 - 1)

10 = a1 + 2r

a1 = 10 - 2r

Substituindo os valores para a98:

a98 = a1 + r(98 - 1)

90 = a1 + 97r

a1 = 90 - 97r

Igualando as duas expressões:

10 - 2r = 90 - 97r

97r - 2r = 90 - 10

95r = 80

r = 80/95

r = 16/19

O valor de a1 será:

a1 = 10 - 2r

a1 = 10 - 2(16/19)

a1 = 10 - 32/19

a1 = 190/19 - 32/19

a1 = 158/19

Encontrando o valor de a100

Para encontrar o valor de a100, aplicamos a fórmula do termo geral novamente:

a100 = a1 + r(n - 1)

a100 = 158/19 + 16/19(100 - 1)

a100 = 158/19 + 16/19(99)

a100 = 158/19 + 1584/19

a100 = 1742/19

Cálculo da soma dos termos

Agora aplicamos a fórmula da soma de uma P.A para todos os 100 termos:

S = [(a1 + a100)*n]/2

S = [(158/19 + 1742/19) * 100]/2

S = [(1900/19) * 100]/2

S = (100 * 100)/2

S = 10000/2

S = 5000

Para aprender mais sobre progressão aritmética, acesse:

brainly.com.br/tarefa/3726293

brainly.com.br/tarefa/47102172

#SPJ2