Question

Desafio - Fuvest

Considere o cubo de lado 1 da figura e sejam M e N os pontos médios de AB e CD, respectivamente.

a) Calcule a razão PN / NQ;

b) Calcule PA, considerando PQN um triângulo retângulo.

Answer 1

a) Como $\text{M}$ é ponto médio de $\text{AB}$, temos que $\text{AM}=\text{BM}$.

Os ângulos $\measuredangle\text{AMP}$ e $\measuredangle\text{BMQ}$ são opostos pelo vértice, podemos afirmar que eles têm a mesma medida.

Por consequência, $\measuredangle\text{APM}=\measuredangle\text{BQM}$ e, concluímos que os triângulos $\text{APM}$ e $\text{BQM}$ são congruentes, pois seus ângulos internos são iguais e além disso, um de seus lados são iguais e opostos ao mesmo ângulo, o que nos permite dizer que os outros dois lados, por serem opostos aos mesmos ângulos, também são iguais.

Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo $\text{ADN}$:

$\text{AN}^2=\text{AD}^2+\text{DN}^2 \iff \text{AN}^2=1^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \iff \text{AN}^2=1+\dfrac{1}{4}$

$\text{AN}^2=\dfrac{5}{4} \iff \text{AN}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$

Sendo $\text{PA}=x$, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $\text{PAN}$:

$\text{PN}^2=\text{PA}^2+\text{AN}^2 \iff \text{PN}^2=x^2+\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 \iff \text{PN}^2=x^2+\dfrac{5}{4}$

$\text{PN}^2=\dfrac{4x^2+5}{4} \iff \text{PN}=\dfrac{\sqrt{4x^2+5}}{2}$

Analogamente, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $\text{BCN}$:

$\text{BN}^2=\text{BC}^2+\text{CN}^2 \iff \text{BN}^2=1^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \iff \text{BN}^2=1+\dfrac{1}{4}$

$\text{BN}^2=\dfrac{5}{4} \iff \text{BN}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$

Como os triângulos $\text{APM}$ e $\text{BQM}$ são iguais, temos que $\text{PA}=\text{QB}=x$.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $\text{BQN}$:

$\text{NQ}^2=\text{QB}^2+\text{BN}^2 \iff \text{NQ}^2=x^2+\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 \iff \text{NQ}^2=x^2+\dfrac{5}{4}$

$\text{NQ}^2=\dfrac{4x^2+5}{4} \iff \text{NQ}=\dfrac{\sqrt{4x^2+5}}{2}$

Logo, $\dfrac{\text{PQ}}{\text{NQ}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{4x^2+5}}{2}}{\dfrac{\sqrt{4x^2+5}}{2}}=1$

De fato, pois $\text{PA}=\text{BQ}$ e $\text{AN}=\text{BN}$.

b) Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo $\text{APM}$:

$\text{PM}^2=\text{PA}^2+\text{AM}^2 \iff \text{PM}^2=x^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \iff \text{PM}^2=x^2+\dfrac{1}{4}$

$\text{PM}^2=\dfrac{4x^2+1}{4} \iff \text{PM}=\dfrac{\sqrt{4x^2+1}}{2}$

Como os triângulos $\text{APM}$ e $\text{BQM}$ são iguais, temos $\text{PM}=\text{QM}$.

Assim, $\text{QM}=\dfrac{\sqrt{4x^2+1}}{2}$ e $\text{PQ}=\text{PM}+\text{QM}=\sqrt{4x^2+1}$.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $\text{PQN}$ e lembrando que $\text{PN}=\text{NQ}=\dfrac{\sqrt{4x^2+5}}{2}$, obtemos:

$\text{PQ}^2=\text{PQ}^2+\text{NQ}^2 \iff (\sqrt{4x^2+1})^2=\left(\dfrac{\sqrt{4x^2+5}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{4x^2+5}}{2}\right)^2$

$4x^2+1=\dfrac{4x^2+5}{4}+\dfrac{4x^2+5}{4} \iff 4x^2+1=\dfrac{8x^2+10}{4}$

$16x^2+4=8x^2+10 \iff 8x^2=6 \iff x^2=\dfrac{6}{8}$

$x^2=\dfrac{3}{4} \iff x=\sqrt{\dfrac{3}{4}}$

$x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Portanto, $\text{PA}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.