Question

VALE 12 PONTOS!!!!!!!
Imagem no arquivo.
A figura seguinte, ABCD é um trapézio de bases AB e CD. Se AP e BP são bissetrizes dos angulos A e B, qual é a medida do angulo CBA?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Slopes, que a resolução não é tão simples como poderíamos pensar em princípio, pois envolve alguns conceitos sobre quadriláteros e triângulos.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos estudar primeiro o trapézio ABCD. Note que a soma dos ângulos de todo quadrilátero é igual a 360º.
Note ainda que, como dos vértices A e B são "puxados" segmentos até o ponto P e que esses segmentos são bissetrizes (AP e BP são bissetrizes dos ângulos A e B, respectivamente), então cada segmento dividiu cada um dos ângulos (A e B) em duas partes iguais. Logo, o ângulo B medirá "2y" (já que um dos ângulos é"y",conforme o "desenho") e o ângulo A medirá "2z" se chamarmos de "z" um dos ângulos formados pelo segmento AP.
Assim, teremos:

110 + x + 2z + 2y = 360
x + 2z + 2y = 360 - 110
x + 2z + 2y = 250       . (I)

ii) Agora veja: vamos alongar o segmento AP até encontrar o segmento CD. Quando houver esse encontro chamaremos de ponto F.
Assim, vamos estudar o triângulo ADF. Note que o ângulo F vai medir "z" graus, pois ele é alterno interno com o ângulo A, que chamamos de "z", quando está repartido pela bissetriz AP.
Assim, como a soma dos ângulos de um triângulo mede 180º, então teremos que:

z + 110 + z = 180 --- ou:
2z + 110 = 180
2z = 180 - 110
2z = 70
z = 70/2
z = 35º <--- Esta é a medida do ângulo "z".

Assim, o ângulo A inteiro, que mede "2z" terá a medida de:

2*35º = 70º <--- Esta é a medida do ângulo A inteiro

iii) Agora vamos estudar o triângulo APB, que tem os ângulos "z", "x-15" e "y".
Como a soma deles é 180º, então teremos;

z + x-15 + y = 180
z + x + y = 180 + 15
z + x + y = 195 ---- como já vimos que z = 35º, então teremos;
35 + x + y = 195
x + y = 195 - 35
x + y = 160
x = 160 - y       . (II)

iv) Agora vamos na expressão (I), que é esta:

x + 2z + 2y = 250 ---- substituindo-se "x" por "160-y", conforme vimos na expressão (II) acima, e substituindo-se "2z" por "70º", pois já vimos que o ângulo A inteiro (e que é igual a 2z) mede 70º, teremos:

160-y + 70 + 2y = 250 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:
230 + y = 250
y = 250 - 230
y = 20 <--- Esta é a medida do ângulo "y".

v) Assim, a medida do ângulo "x" será esta, utilizando-se a expressão (II), que é esta:

x = 160 - y -------- substituindo-se "y" por "20", temos;
x = 160 - 20
x = 140º <--- Esta é a medida do ângulo "x".

vi) Assim, já temos todas as medidas dos ângulos da sua questão que eram desconhecidos, e que são:

x = 140º
y = 20º
z = 35º

Como é pedido o ângulo CBA, então está sendo pedida a medida do ângulo B, que é igual a 2*y = 2*20 = 40º. Assim:

B = 40º <--- Esta é a resposta. Esta é a medida pedida do ângulo B.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Resposta:

No trapézio a seguir, os segmentos AS e BS são partes das bissetrizes dos ângulos A e B, respectivamente.

Determine a medida do ângulo D