Question

Para que valores reais de m a função f(x)= 3x² + 2x + m - 1 é positiva para qualquer x, com x real?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, MariaAnalu, que a resolução é simples. Basta que tenhamos conhecimento sobre o estudo de sinais de equações do 2º grau quando TÊM raízes reais e quando NÃO têm raízes reais.

Pede-se: para que valores reais de "m" a função abaixo será sempre positiva para qualquer valor de "x" real.

f(x) = 3x² + 2x + m-1.

Antes de iniciar veja os seguintes prolegômenos:

i) Para uma equação do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, COM raízes reais iguais a x' e a x'', teremos:

i.a) f(x) terá o mesmo sinal do termo "a" (o termo "a" é o coeficiente de x²) para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes), ou seja, para: x < x' ou para x > x'';

i.b) f(x) terá sinal contrário ao do termo "a" para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes), ou seja, para: x' < x < x'';

i.c) f(x) será igual a "0" para valores de "x" iguais às raízes, ou seja, para: x = x' ou x = x''.


ii) Para uma equação do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, SEM raízes reais, teremos:

ii.a) f(x) será SEMPRE positivo se o termo "a" for positivo;

ii.b) f(x) será sempre negativo se o termo "a" for negativo.

iii) No caso da sua questão, estamos querendo que a função f(x) = 3x² + 2x + m-1 seja SEMPRE positiva para todo e qualquer valor de "x" real.
Então deveremos enquadrar a sua questão no item "ii.a" acima que diz: "f(x) será SEMPRE positivo se o termo "a" for positivo. Note que, nesses casos, a função NÃO deverá ter raízes reais.
Então vamos impor que o delta da função da sua questão [f(x) = 3x²+2x+m-1] seja negativo (que é a condição para que uma equação do 2º grau NÃO tenha raízes reais).
E como o termo "a" é positivo, então basta que façamos menor do que zero o delta da equação da sua questão [f(x) = 3x²+2x+m-1].
Note que o delta (b² - 4ac) da equação acima é este: 2² - 4*3*(m-1). Então vamos impor que esse delta seja menor do que zero. Assim, fazendo isso, teremos:

2² - 4*3*(m-1) < 0
4 - 12*(m-1) < 0
4 - 12m + 12 < 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficamos:
-12m + 16 < 0 ---- passando "16" para o 2º membro, temos:
-12m < - 16 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", temos:
12m > 16
m > 16/12 ----- simplificando tudo por "4", teremos:
m > 4/3  ---- Esta é a resposta. Ou seja, basta que "m" seja maior do que "4/3" para que a equação da sua questão seja SEMPRE positiva.

Observação: quando se multiplica uma desigualdade por "-1" o seu sentido muda (o que era "<" passa pra ">" e vice-versa). Foi o que ocorreu com a desigualdade acima, quando multiplicamos ambos os membros por "-1". Notou?

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.