Question

Um observador situado a 12m de um prédio avista o seu topo sob certo ângulo . Afastando-se em linha reta mais 20m percebe que o ângulo de visualização é a metade do anterior. Sendo H , em metros,a altura do prédio é

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Pereira, que a resolução é simples, embora um pouquinho trabalhosa.

Note: se a primeira distância de 12 metros o observador via o topo do prédio sob um certo ângulo e, se depois,  ao o observador afastar-se mais 20m  o ângulo passou a ser à metade do ângulo anterior, então vamos fazer o seguinte:

i) Se chamarmos de "x" o ângulo de afastamento de 32 metros (12 metros + 20 metros = 32 metros), então o ângulo de afastamento de 12 metros será igual a "2x" (note que o ângulo quando o afastamento é 32 metros é a metade do ângulo quando o afastamento é de apenas 12 metros. Logo, a metade de "2x" é "x", concorda?).

ii) Agora vamos aplicar tangente nos dois instantes (ou seja, nos dois afastamentos). Note que a tangente, quando trabalhamos num triângulo retângulo (como é o caso da sua questão) é dada por cateto oposto/cateto adjacente. Assim, chamando o cateto oposto de "h" (que é a altura do prédio, teremos):

tan(x) = h/32     . (I)

e

tan(2x) = h/12     . (II)

Agora note que tan(2x) = 2tan(x)/[1 - tan²(x)]. Então vamos utilizar esta fórmula para encontrar tan(2x), que é a expressão (II) acima. Assim, teremos:

2tan(x)/[1 - tan²(x)] = h/12 ---- mas já temos que tan(x) = h/32, conforme a expressão (I). Então vamos substituir na expressão com que estamos trabalhando, que é esta;

2tan(x) / [ 1-tan²(x)] = h/12---- substituindo-se tan(x) por "h/32", teremos:
2*(h/32) / [1 - (h/32)²] = h/12 ---- desenvolvendo, temos;
(2h/32) / [1 - h²/1.024] = h/12 ---- veja que, dentro dos colchetes, o mmc = 1.024. Então vamos utilizá-lo (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador). Assim, ficaremos:

(2h/32) / [(1.024*1 - 1*h²)/1.024)] = h/12
(2h/32) / [(1.024 - h²)/1.024] = h/12 -----note que (2h/32) = (h/16) após simplificarmos tudo por "2". Assim, ficaremos com:

(h/16) / [1.024 - h²]/1.024 = h/12 ---- vamos multiplicar em cruz, ficando:

12*(h/16) = h*[1.024-h²]/1.024 ---- efetuando os produtos indicados,temos:

12h/16 = (1.024h - h³)/1.024 ----multiplicando em cruz novamente, temos;
1.024*12h = 16*(1.024h - h³) ----- efetuando os produtos indicados, temos:
12.288h = 16.384h - 16h³ ----note que poderemos dividir cada fator por "h", pois ele é comum. Então fazendo isso, iremos ficar apenas com:

12.288 = 16.384 - 16h² ---- passando "16.384" para o 1º membro, temos:
12.288 - 16.384 = - 16h²
- 4.096 = - 16h² ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1" e invertendo-se, teremos:

16h² = 4.096 ---- se dividirmos ambos os membros por "16", ficaremos apenas com:

h² = 256
h = ± √(256) ----- como √(256) = 16, ficaremos com:
h = ± 16 ---- tomando-se apenas a raiz positiva, pois a altura do prédio não seria negativa, teremos que:

h = 16 metros <-- Esta é a resposta. Esta é a altura pedida.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.