Question

Questão Delta.

Determine as equações das retas tangentes à circunferência de equação$x^2+y^2+2x-3=0$ e que passam pelo ponto $(5,2)$.

RESPOSTA COMPLETA.
RESOLUÇÃO E EXPLICAÇÃO.
DIVIRTAM-SE. :))

Answer 1

a) A circunferência reduzida da equação da circunferência dada é:

$x^2+y^2+2x-3=0\\ x^2+2x+1+y^2-3-1=0\\ \boxed{(x+1)^2+y^2=4}$

De onde tiramos que o centro C desta circunferência é C(-1,0) e raio = 2

b) A reta procurada que passa no ponto (5,2) tem a seguinte equação:

$y-y_o=m(x-x_o)\\ y-2=m(x-5)\\ y-2=mx-5m\\ \boxed{mx-y+2-5m=0}$

c) Calculemos a distância do centro da circunferência 

$\boxed{d=\frac{|ax_o+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2}\\ \\ \boxed{\frac{|-m-1.0+2-5m|}{\sqrt{m^2+(-1)^2}}=2}\\ \\ \boxed{\frac{|2-6m|}{\sqrt{m^2+1}}=2\Rightarrow|2-6m|=2\sqrt{m^2+1}}\\ \\ (|2-6m|)^2=(2\sqrt{m^2+1})^2\\ \\4-24m+36m^2=4m^2+4\\ \\ 32m^2-24m=0\\ \\ 8m(4m-3)=0\\ \\ m_1=0\\ \\ m_2=\frac{3}{4}$

d) Podemos agora escrever as equações das retas que passam pelo ponto (5,2) e que tem coeficientes angulares: 0 e 3/4, isto é, são tangentes à circunferência dada:

$m=0\\ \\ y-y_0=0(x-x_0)\\ \\ \boxed{\boxed{y-2=0}}\\ \\m=\frac{3}{4}\\ \\ y-y_o=m(x-x_o)\\ \\ y-2=\frac{3}{4}(x-5)\\ \\ 4y-8=3x-15\\ \\ \boxed{\boxed{3x-4y-7=0}}$