Question

Após encontrar os pontos críticos da função f(x) = 1/3x³ +3x²-7x+9 podemos afirmar que;

Answer 1

Os pontos críticos são aqueles cuja derivada da função nesses pontos é igual a 0 ou nos pontos em que a derivada não existe. Por ser polinômio, é uma função contínua e sua derivada também é contínua, emtão descobrimos facilmente a derivada da função como sendo:

$f'(x) = x^2 + 6x - 7$

Pelo Teorema de Baskhara, temos que Δ = 64, e portanto:

$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2} =1 \\ \\ x_2 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2} = -7$

Nos pontos x=1 e x=-7 temos pontos críticos da função. Basta agora checar o valor da segunda derivada da função nesses pontos. Sabemos que:

$f^{(2)}(x) = 2x + 6$

Aplicando então a derivada segunda nesses pontos, temos que:

$f^{(2)}(1) = 8 \\ \\ f^{(2)}(-7) = -8$

Portanto, temos que no ponto x = 1, a função é côncava pra cima e x = 1 é um ponto de mínimo local. No ponto x = -7, a função é côncava pra baixa e x = -7 é um ponto de máximo local. Portanto,
A função possui um máximo local quando x = -7;