Question

Dada a função f(x)=-2²x+4x+6, de dominio real determine: a) a concavidade da parabola.b) os zeros da função se existirem.c) as cordenadas do vértice.d) o valor máximo ou minimo.e) a ordenada em que o gráfico intercepta o eixo y.f) faça o gráfico.g) trace no gráfico o eixo de simetria.h) determine o conjunto imagem .

Answer 1

A concavidade da parábola é dada pelo valor do coeficiente a, se a > 0, a concavidade é para cima, se a < 0, para baixo. O coeficiente a nesse caso é o -2, então:

a) Para baixo. 

b) Os zeros da função é quando f(x)=0, então aplicaremos Bhaskara: 
Δ = b² - 4 . a . c
Δ = 4² - 4 . (-2) . 6
Δ = 16 + 48
Δ = 64, √Δ = √64 = 8

x = (-b ± √Δ) / 2a 
x = (-4 ± 8) / 2(-2) 
x' = (-4 -8) / -4 = -12/-4 = 3 
x" = (-4 + 8) / -4 = -1 

Logo, os zeros da função é quando x = 3 ou x = -1

c) As coordenadas do vértice podem ser obtidas através de duas formas:
somando as raízes e dividindo por dois: (x' + x")/2 = Xv 
(3 -1)/2 = Xv => Xv = 2/2 = 1 
Basta pegar o X do vértice e substituir na função que obteremos o Y do vértice:
Yv = -2 (1)²+ 4.1 +6 
Yv = -2 . 1 + 4 + 6
Yv = -2 + 4 + 6 
Yv = 8

Poderá fazer também pelas fórmulas: Xv = -b/2a e Yv = -Δ/4a

d) Quando uma função tem concavidade para baixo, ela tem um limite de altura que poderá atingir, então ela terá um ponto de máximo (da pra ilustrar melhor no gráfico abaixo), o ponto de máximo coincide com o Yv, então, o valor máximo da função = Yv = 8

e) O coeficiente c (o que não tem a incognita x acompanhada) corresponde a quando a função intercepta o eixo y, então como c = 6, a função intercepta o eixo y em 6 (perceba no gráfico)
 
f e g) O gráfico está na imagem, repare que o azul é a parábola com concavidade para baixo, e que o Yv e o Xv equivale aos valores achados, a reta amarela representa o eixo de simetria. 

h) O conjunto imagem são todos os valores possíveis de y, perceba que os valores de y são apenas de 8 para baixo, então o conjunto imagem será:

I = {y ∈ R/ y ≤ 8}

Answer 2

Resposta:

As coordenadas do vértice podem ser obtidas através de duas formas:

somando as raízes e dividindo por dois: (x' + x")/2 = Xv  

(3 -1)/2 = Xv => Xv = 2/2 = 1  

pegue o X do vértice e substituir na função que obteremos o Y do vértice:

Yv = -2 (1)²+ 4.1 +6  

Yv = -2 . 1 + 4 + 6

Yv = -2 + 4 + 6  

Yv = 8

Espero ter ajudado :)