Question

Suponha que A é uma matriz diferente de zero e que AB = AC, sendo possível 
fazer as multiplicações necessárias. 
Nestas condições, B = C ? Prove.

Dou os 25 pontos pra quem melhor responder a questão! Provando.

Answer 1

- NAO se pode afirmar que B=C, para provar deve-se lembrar como funciona o produto de matrizes: 

supondo o produto 2 matrizes A3x2 e B 2x3:

$\left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\\end{array}\right]$ . $\left[\begin{array}{ccc}g&j\\h&k\\i&l\end{array}\right]$ =

o resultado será o seguinte:

$\left[\begin{array}{ccc}(a.g)+(b.h)+(c.i)&(a.j)+(b.k)+(c.l)\\(d.g)+(eh)+(f.i)&(d.j)+(e.k)+(f.l)\\\end{array}\right]$

logo, deduz-se que as matrizes B e C nao necessariamente serão iguais para que a igualdade seja satisfeita, para isso é necessario somente que a soma dos produtos de suas linha e colunas sejam iguais.

ERRATA EDITADA E CORRIGIDA

Answer 2

Consideremos a matriz A dada por $\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$, então:

$\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{bmatrix}\\\\\\\begin{bmatrix}1\cdot\,b_{11}+2\cdot\,b_{21}&1\cdot\,b_{12}+2\cdot\,b_{22}\\3\cdot\,b_{11}+4\cdot\,b_{21}&3\cdot\,b_{12}+4\cdot\,b_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\cdot\,c_{11}+2\cdot\,c_{21}&1\cdot\,c_{12}+2\cdot\,c_{22}\\3\cdot\,c_{11}+4\cdot\,c_{21}&3\cdot\,c_{12}+4\cdot\,c_{22}\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}b_{11}+2\cdot\,b_{21}&b_{12}+2\cdot\,b_{22}\\3\cdot\,b_{11}+4\cdot\,b_{21}&3\cdot\,b_{12}+4\cdot\,b_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_{11}+2\cdot\,c_{21}&c_{12}+2\cdot\,c_{22}\\3\cdot\,c_{11}+4\cdot\,c_{21}&3\cdot\,c_{12}+4\cdot\,c_{22}\end{bmatrix}\\\\\\\begin{cases}b_{11}+2b_{21}=c_{11}+2c_{21}\\b_{12}+2b_{22}=c_{12}+2c_{22}\\3b_{11}+4b_{21}=3c_{11}+4c_{21}\\3b_{12}+4b_{22}=3c_{12}+4c_{22}\end{cases}$
 
 Resolvendo o sistema irá concluir que $\boxed{b_{11}=c_{11}}$, $\boxed{b_{12}=c_{12}}$, $\boxed{b_{21}=c_{21}}$ e $\boxed{b_{22}=c_{22}}$.