Question

interpolar (ou intercalar, inserir) m meios arimeticos entre os números A e B significa formar uma P.A de (m+2) termos cujo 1• termo seja A e o ultimo seja B interpole:
a) 4 meios aritméticos entre 2 e 32.
b) k meios aritméticos entre 1 e k², com k ≥ 2.

Answer 1

Para solucionar este problema, é necessário definir a razão da P.A., através da fórmula abaixo:

an = a1 + (n – 1)*r

Onde:

an = enésimo termo

a1 = primeiro termo

n = número de termos

r = razão

a) 4 meios aritméticos entre 2 e 32. 

Neste problema:

an = 32

a1 = 2

n = 6 (4 meios, 2 e 32)

r = ?

 

32 = 2 + (6 – 1)*r

(6 – 1)*r = 32 - 2

5*r = 30

r = 30/5

r = 6

 

Sabendo a razão, basta calcular cada um dos termos da PA:

n1 = 2 (dado)

n2 = 2 + 6 = 8

n3 = 8 + 6 = 14

n4 = 14 + 6 = 20

n5= 20+6 = 26

n6 = 26 + 6 = 32 (dado)

 

RESPOSTA: PA (2, 8, 14, 20, 26, 32)

 

b) k meios aritméticos entre 1 e k², com k ≥ 2.

Neste problema:

an = k²

a1 = 1

n = k + 2 (k meios, 1 e k²)

r = ?

 

k² = 1 + (k + 2 - 1)*r

k² = 1 + (k + 1)*r

k² - 1 = (k + 1)*r

r = (k² - 1) / (k + 1)     <Eq. I>

 

Utilizando a regra da multiplicação do produto pela diferença, temos que:

k² - 1 = (k + 1)*(k – 1)

 

Substituindo na <Eq. I>:

r = (k + 1)*(k – 1) / (k + 1)

r = k - 1

 

Para calcular os valores da PA:

an = a2

a1 = 1

n = 2

r = k – 1

 

a2 = 1 + (2 – 1)(k – 1)

a2 = 1 + k – 1

a2 = k

 

an = a3

a1 = 1

n = 3

r = k – 1

 

a3 = 1 + (3 – 1)(k – 1)

a3 = 1 + 2*(k – 1)

a3 = 1 + 2k – 2

a3 = 2k – 1

an = a4

a1 = 1

n = 4

r = k – 1

 

a4 = 1 + (4 – 1)(k – 1)

a4 = 1 + 3k – 3

a4 = 3k -2

 

RESPOSTA: PA (1, k, 2k-1, 3k-2, ... , k²)