Question

Como chegar na resposta da questão a seguir?

(questão e resposta em anexo)

Answer 1

Acredito q ha um equivoco quanto a resposta pois realizando os cálculos todos os termos dão 2.

Para determinar termos da sequencia, utilizamos a formula dada.
o primeiro termo é 2, como ja foi dito.

Para descobrir o segundo termo utilizamos a formula substituindo o n por 2
an+1 = 1/2 (an+4) ----> formula 
a2+1 = 1/2 (a2+4) ----->substituicao do n pelo valor 2
a2 + 1 = (a2+4)/2 -----> multiplicacao da fracao 1/2 pelo segundo membro da equacao 
2(a2+1) = a2+4 --->o 2 que esta dividindo passou para o outro lado multiplicando
2a2+2=a2+4 ----> resultado da multiplicacao
2a2-a2 = 4-2 ----> separa-se letras e numeros, fazendo o jogo de sinais
a2=2 ----> resultado

Para descobrir o terceiro termo utilizamos a formula substituindo n por 3, fazendo os mesmos passos da anterior.
an+1 = 1/2 (an+4)
a3+1 = 1/2 (a3+4)
a3+1 = (a3+4)/2
2(a3+1) = a3+4
2a3+2 = a3+4
2a3-a3 = 4-2
a3 = 2

Para descobrir o a4, continuamos fazendo como nas outras:
an+1 = 1/2 (an+4)
a4+1 = 1/2 (a4+4)
a4+1 = (a4+4)/2
2(a4+1) = a4+4
2a4 + 2 = a4+4
2a4-a4 = 4-2
a4 = 2

Continuamos para descobrir o quinto termo:
an+1 = 1/2 (an+4)
a5+1 = 1/2 (a5+4)
a5+1 = (a5+4)/2
2(a5+1) = a5+4
2a5+2 = a5+4
2a5-a5 = 4-2
a5 = 2

E fazemos o mesmo para descobrir o 101° termo:
an+1 = 1/2 (an+4)
a101+1 = 1/2 (a101+4)
a101+1 = (a101+4)/2
2(a101+1)= a101+4
2a101+2 = a101+4
2a101-a101 = 4-2
a101=2

Answer 2

Boa tarde

Temos um problema inicial que é o seu $a_{3} = \frac{5}{2} \quad\quad\ e \quad\ a_{4} = \frac{7}{4}$  não estão de acordo com a fórmula .

Na realidade aplicando a fórmula temos :

$a_{1}=2\quad\ a_{2} =3\quad\ a_{3} = \frac{7}{2} \quad\ a_{4} = \frac{15}{4} \quad\ a_{5} = \frac{31}{8} \quad\ a_{6} = \frac{63}{16}$

Considerando o índice n , observe que todos os numeradores têm a forma

$2^{n} -1$   e que todos os denominadores  têm a forma  $2^{n-2}$   assim sendo o termo geral tem a forma $a_{n} = \frac{ 2^{n}-1 }{ 2^{n-2} } \quad\ ou\quad\ a_{n} = \frac{ 2^{n} }{ 2^{n-2} } - \frac{1}{ 2^{n-2} } \quad\ ou\quad \ a_{n} = \frac{2*2* 2^{n-2} }{ 2^{n-2} }- \frac{1}{ 2^{n-2} } \quad\ \\ \\ ou \quad\ a_{n} = 4 - \frac{1}{ 2^{n-2} }$


logo  $a_{101} = 4 - \frac{1}{ 2^{99} }$