Question

A generalização de um espaço vetorial, que pode ser de números, de coordenadas do plano ou do espaço e de matrizes, visa facilitar o estudo destes grupos e também tem como objetivo formalizar os inúmeros cálculos que podem ser elaborados com sua utilização. Exemplos destas utilizações são: a aplicação de pontos do plano e do espaço na análise de funções de diversas variáveis reais e de matrizes na resolução de sistemas de equações lineares. Sobre espaços vetoriais, afirma-se: I) Espaço vetorial é aquele em que está definida a soma de vetores. II) São necessárias oito condições para verificar que um espaço é um espaço vetorial. III) Qualquer espaço, ou seja, grupo de elementos, é um espaço vetorial. IV) Espaço vetorial é aquele em que estão definidas duas operações: a de adição e a de multiplicação de vetor por um escalar.

Answer 1

Vamos analisar cada afirmativa.

I) A afirmativa não está correta.

A multiplicação por escalar também deve estar definida.

II) A afirmativa está correta.

As oito condições são:

Para todo u, v ∈ V e para todo α, β ∈ IR, temos que

1) u + (v + w) = (u + v) + w, w ∈ V.

2) u + v = v + u.

3) Existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u, para todo u ∈ V.

4) Existe -u ∈ V tal que u + (-u) = 0, para todo u ∈ V.

5) α(βu) = (αβ)u.

6) (α + β)u = αu + βu.

7) α(u + v) = αu + αv.

8) 1(u) = u.

III) A afirmativa está errada.

Não é qualquer qualquer espaço. O conjunto V com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas é chamado de espaço vetorial se valerem os oito axiomas citados acima.

IV) A afirmativa está correta.

A justificativa foi dita na afirmativa I).