Question

preciso achar as fraçoes geratrizes das dízimas 0,145 / 0,145145145.../ 3,14787878...

Answer 1

Olá.

 

Vou dividir cada caso em "A, B, C".

Recebe o nome de fração geratriz aquela que, quando completa a divisão, forma uma dízima periódica. Existem dois tipos de frações geratrizes: simples e compostas. No caso do enunciado teremos dos dois tipos.

 

As frações geratrizes simples são aquelas que tem apenas o período (número(s) que se repete(m) ) após o 0. Nesse tipo, colocamos o período no numerador e no denominador adicionamos um 9 para cada número que compõe o período.

$\mathsf{Ex~1.:~0,\overline{888}=\dfrac{8}{9}}\\\\\\\mathsf{Ex~2.:~0,\overline{123}=\dfrac{123}{999}}\\\\\\\mathsf{Ex~3.:~0,\overline{6354}=\dfrac{6354}{9999}}$

As frações geratrizes compostas são aquelas que tem o período, mas antes dele tem algum número, que chamamos de antiperíodo. Nesse caso, no numerador teremos o antiperíodo com o período sendo subtraído pelo antiperíodo; no denominador teremos um 9 para cada componente do período, além de um 0 para cada número do antiperíodo. Teremos:

$\begin{array}{rcl}&\mathsf{\underline{AP-A}}\\\mathsf{Per\'iodo\rightarrow}&\mathsf{90}&\mathsf{\leftarrow~Antiper\'iodo}\end{array}$ , 

Onde:

A: antiperíodo;

P: período.

 

No caso de ter um número inteiro (ou seja, antes da vírgula), basta aplicarmos regras simples de frações, adicionando-o no final do cálculo, considerando-o devidamente como inteiros.

 

Vamos ao caso do enunciado.

Questão A

Essa não é uma fração geratriz, pois não tem um período evidente. Para transformar em fração, basta colocarmos 145 no numerador e 1000 no denominador. Teremos:

$\boxed{\mathsf{\dfrac{145}{1.000}}}$

 

Questão B

Temos uma fração geratriz simples, onde o período tem três algarismos (145). No denominador teremos 999. Teremos:

$\boxed{\mathsf{\dfrac{145}{999}}}$ 

Questão C

Nesse caso temos uma fração geratriz composta um número no antiperíodo (14) e o período com 2 algarismos (78), além de um número antes da vírgula (3). No denominador, teremos 9.900. Teremos:

$\mathsf{3+\dfrac{1.478-14}{9.900}}\\\\\\\mathsf{3+\dfrac{1.464}{9.900}}\\\\\\\mathsf{3+\dfrac{3\cdot9.900+1.464}{9.900}}\\\\\\\mathsf{3+\dfrac{29.700+1.464}{9.900}}\\\\\\\boxed{\mathsf{3+\dfrac{31.164}{9.900}}}$

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos.