Question

Admitindo que x pertença ao domínio da função dada, use as propriedades e os teoremas sobre limite para calcular:

$\mathsf{ \lim_{x \to 4} \dfrac{3- \sqrt{5+x} }{1- \sqrt{5-x} } }$

Answer 1

Boa noite 

limx->4  (3 - √(5 + x)))/(1 - √(5 - x))

derivada  √(5 + x) = 1/2√(5 + x)
derivada  √(5 -  x) = -1/2√(5 - x)

= limx->4 -√(5 - x)/√(5 + x) = -1/3

Answer 2

Resolução da questão, vejamos:

Vamos aplicar a propriedade do conjugado nesse limite, vejamos:

Vamos multiplicar toda a função limitada pelo conjugado do numerador, veja:

$\mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to~4}~\dfrac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}}}$

Multipliquemos essa expressão pelo seguinte:

$\mathsf{-3-\sqrt{5+x}}$

Observe:

$\mathsf{\dfrac{1}{-3-\sqrt{5+x}}}~\cdot~\dfrac{1}{1-\sqrt{5-x}}~\cdot~(-3-\sqrt{5-x})~\cdot~(3-\sqrt{5+x})}}}$

Fazendo o produto acima obteremos o seguinte:

$\mathsf{\dfrac{x-4}{(1-\sqrt{5-x})(-3-\sqrt{5+x})}}$

Agora vamos multiplicar essa nova expressão pelo conjugado do denominador, observe:

$\mathsf{\dfrac{(x-4)~\cdot(-1-\sqrt{5-x})}{(1-\sqrt{5-x})~\cdot~(-3-\sqrt{5+x})~\cdot~(-1-\sqrt{5-x})}}}\\\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(-4+x)~\cdot~(-1-\sqrt{5-x})}{(4-x)~\cdot~(-3-\sqrt{5+x})}}\\\\\\\\ \mathsf{-\dfrac{\sqrt{5-x}+1}{\sqrt{5+x}+3}}}\\\\\\\\ \mathsf{-\dfrac{1}{3}}}}}\\\\\\\\\ \Large\boxed{\boxed{\mathbf{~\therefore~\displaystyle\lim_{x~\to~4}~\dfrac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}=-\dfrac{1}{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}~~\checkmark}}}$

Ou seja, a solução deste limite é igual a - ⅓.

Espero que te ajude. (^.^)