Question

Resolva em R o seguinte sistema de inequações :

{x - 4 < x²- 4
{x²- 4 < x + 2

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Laura, que a resolução é simples, porém um pouquinho trabalhosa.
Tem-se o seguinte sistema de inequações:

{x - 4 < x² - 4        . (I)
}x² - 4  < x + 2       . (II)

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos trabalhar inicialmente com a expressão (I), que é esta:

x - 4 < x² - 4 ----- vamos passar todo o 1º membro da desigualdade para o 2º, com o que ficaremos assim:

0 < x² - 4 - x + 4 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos:
0 < x² - x ---- note que isto é a mesma coisa que:
x² - x > 0     . (III)

Veja que as raízes da expressão (III) acima é: x' = 0 e x'' = 1.
Assim, iremos estudar a variação de sinais da inequação acima em função de suas raízes. Logo:

x² - x > 0 .... + + + + + + + (0) - - - - - - - -  (1) ++ + + + + + + + +

Assim, como queremos que a inequação acima seja maior do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de mais no gráfico acima. Assim, o intervalo que dá o conjunto-solução da inequação acima será:

x < 0, ou x > 1.

ii) Agora vamos trabalhar com a expressão (II), que é esta:

x² - 4 < x + 2 --- vamos passar todo o 2º membro para o 1º, com o que ficaremos assim:

x² - 4 - x - 2 < 0 ----- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
x² - x - 6 < 0

Note que as raízes da inequação acima são: x' = - 2 e x'' = 3.

Agora vamos estudar a variação de sinais da inequação acima em função de suas raízes. Assim:

x² - x - 6 < 0 ... + + + + + + + + (-2) - - - - - - - - - - - - (3) + + + + + + + +

Como queremos que a inequação seja menor do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos no gráfico acima. Assim, o conjunto-solução para esta inequação será:

- 2 < x < 3  .

iii) Agora note que o conjunto-solução para o sistema como um todo será a intersecção entre o que vale para a expressão (I) e para a expressão (II).
Então vamos fazer o seguinte: marcaremos o que vale para cada uma das inequações com o símbolo ////////// . E a intersecção entre elas marcaremos com o símbolo ||||||||.
Então teremos;

x² - x > 0 .... ..../ / / / / / / / / / / / / / / / / / /  (0) _______ (1) / / / / / / / / / / / / / / / / / /
x² - x - 6 < 0 ... ________(-2) / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /  (3) _______
Intersecção ... ________(-2) | | | | | | | | | | | (0) _______ (1) | | | | | | | | | |(3) _______


Assim, como você está vendo aí em cima, a intersecção entre o que vale para cada uma das inequações está entre "-2" e "0" e entre "1" e "3". Logo, o conjunto-solução será este:

-2 < x < 0, ou 1 < x < 3 ----- Esta é a resposta.

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {x ∈ R | -2 < x < 0, ou 1 < x < 3}.

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser expresso do seguinte modo, o que é a mesma coisa:

S = (-2; 0) ∪ (1; 3) .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.