Question

Determine a área da região entre a parábola y= 4-x^2 e a reta y = -x+2

Answer 1

Seguindo o raciocínio de cálculo de área de uma região limitada por duas curvas, basta apenas calcularmos a interseção entre elas e aplicarmos a integral na equação resultante:

4 - x² = -x + 2
x² - x - 2 = 0

Dois números que somados dá 1 e o produto é -2 são: x1 = -1 e x2 = 2.

Então, a área será:

A = ∫(x²-x-2)dx

A = ∫x²dx - ∫xdx - ∫2dx

A = (x³/3) - (x²/2) - (2x)

Aplicando os limites de integração, de -1 a 2:

A = (2³ - (-1)³)/3 - (2² - (-1)²)/2 - 2(2 - (-1))

A = 9/2 ou 4,5 (em módulo)

Answer 2

A área da região entre a parábola y = 4 - x² e a reta y = -x + 2 é 9/2 u.a.

Para calcularmos a área da região compreendida entre a parábola y = 4 - x² e a reta y = -x + 2, vamos utilizar a integral definida.

Mas antes, precisamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas.

Como y = -x + 2, então:

-x + 2 = 4 - x²

x² - x - 2 = 0.

Utilizando a fórmula de Bhaskara para calcular as raízes da equação do segundo grau acima:

Δ = (-1)² - 4.1.(-2)

Δ = 1 + 8

Δ = 9

$x=\frac{1+-\sqrt{9}}{2}$

$x=\frac{1+-3}{2}$

$x'=\frac{1+3}{2}=2$

$x''=\frac{1-3}{2}=-1$.

Quando x = 2, o valor de y é 0.

Quando x = -1, o valor de y é 3.

Logo, os pontos de interseção são (2,0) e (-1,3).

Calculando a integral:

$\int\limits^2_{-1} {4-x^2-(-x+2)} \, dx =\int\limits^2_{-1} {4-x^2+x-2} \, dx=\int\limits^2_{-1} {-x^2+x+2} \, dx=-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x$.

Substituindo os limites de integração:

$A=-\frac{2^3}{3}+\frac{2^2}{2}+2.2-(-\frac{(-1)^3}{3}+\frac{(-1)^2}{2}+2.(-1))$

A = -8/3 + 2 + 4 - (1/3 + 1/2 - 2)

A = -8/3 + 6 - 1/3 - 1/2 + 2

A = -9/3 + 8 - 1/2

A = -3 + 8 - 1/2

A = 5 - 1/2

A = 9/2 unidades de área.

Para mais informações sobre integral: https://brainly.com.br/tarefa/20009976