Question

resolver as equações biquadradas, sendo U = R

a) x⁴ - 25x² = 0

b) x⁴ - 7x² - 18 = 0

Answer 1

Em equações de 4° grau, podemos criar uma nova variável que, substituindo na equação, se torne mais fácil de resolver. Lembrando de sempre voltar na variável que você criou para achar o valor de X.

Portanto, pra esses dois casos podemos dizer que x² = y.

a) x⁴ - 25x² = 0
   (x²)² - 25x² = 0
   y² - 25y = 0
   y(y-25) = 0

y'=0    y''-25 = 0
           y'' = 25

Agora precisamos voltar para nossa igualdade e achar os valores de X.

  (y'=0)         (y''=25)
x² = y           x² = 25
x² = 0           x = √25
x=0              x = 5

b)  x⁴ - 7x² - 18 = 0
    (x²)² - 7x² - 18 = 0
    y² - 7y - 18 = 0

Δ= (-7)² - 4.1.-18
Δ= 49 + 72
Δ= 121

y = -b+-√Δ
     ----------
         2a

y' = 7 + 11         y'' = 7 - 11
      ---------               ---------
          2                        2

y' = 18/2            y'' = -4/2
y' = 9                 y'' = -2

Voltando na igualdade:

  (y'=9)               (y''=-2)
x² = y                 x² = -2
x² = 9                 x = √-2
x = √9                x = não existe
x = 3 e x =- 3

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Gabi, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

a) x⁴ - 25x² = 0 ----- note que isto é a mesma coisa que:

(x²)² - 25x² = 0 ---- para facilitar, poderemos fazer x² = y. Assim, ficaremos:
(y)² - 25y = 0 --- ou apenas:
y² - 25y = 0 ---- para encontrar as raízes, vamos pôr "y" em evidência, ficando:

y*(y - 25) ---- note que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Assim teremos as seguintes possibilidades:

ou
y = 0 ---> y' = 0

ou
y-25 = 0 ----> y'' = 25

Mas lembre-se que fizemos x² = y. Então:

a.i) Para y = 0, teremos:

x² = 0
x = ± √(0) ----- como √(0) = 0, teremos:
x = ± 0  --- ou apenas:
x = 0 <--- Este é um valor válido para "x".

a.ii) Para y = 25, teremos:

x² = 25
x = ± √(25) ----- como √(25) = 5, teremos:
x = ± 5 ---- ou seja:

x' = -5 ; e  x'' = 5 <--- Estes são, também, dois valores válidos para "x".

a.iii) Assim, teremos que a equação biquadrada do item "a" terá as seguintes raízes (colocando as raízes em ordem crescente):

x' = -5; x'' = 0; x''' = 5 <--- Esta é a resposta para a questão do item "a".

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''; x'''} para a questão do item "a" da seguinte forma, o que dá no mesmo (colocando as raízes em ordem crescente):

S = {-5; 0; 5}.

b) x⁴ - 7x² - 18 = 0 ---- veja que isto pode ser reescrito assim:

(x²)² - 7x² - 18 = 0 ------ para facilitar, faremos x² = y, a exemplo da questão anterior. Assim, ficaremos com:

(y)² - 7y - 18 = 0 ---- ou apenas:
y² - 7y - 18 = 0 ----- para encontrar as raízes, vamos aplicar a fórmula de Bháskara que é esta:

y = [-b ± √(Δ)]/2a ----- sendo Δ = b²-4ac. Assim, ficaremos com:
y = [-b ± √(b²-4ac)]/2a ----- fazendo as devidas substituições, termos:
y = [-(-7) ± √(-7)² - 4*1*(-18))]/2*1
y = [7 ± √(49+72)]/2
y = [7 ± √(121)]/2 ----- note que √(121) = 11. Assim:
y = [7 ± 11]/2 ---- daqui você já conclui que:

y' = (7-11)/2 = -4/2 = - 2
e
y'' = (7+11)/2 = 18/2 = 9.

Mas lembre-se que fizemos x² = y. Então teremos:

b.i) Para y = - 2, teremos:

x² = - 2 <--- IMPOSSÍVEL. Não há nenhum número real que, quando estiver ao quadrado, dê resultado negativo. Logo, descartaremos a raiz para y = -2.

b.ii) Para y = 9, teremos:

x² = 9
x = ± √(9) ------ como √(9) = 3, teremos;
x = ± 3 ----- ou seja, teremos que:

x' = -3 e x'' = 3 <--- Este são dois valores válidos para "x".

Logo, a equação biquadrada da questão do item "b" terá que "x' poderá assumir os seguintes valores:

x' = -3, x'' = 3 <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''} da questão do item "b" da seguinte forma, o que dá no mesmo :

S = {-3; 3}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.