Question

$\lim_{x \to \ 0 } [\frac{sen(3x)}{sen(x)} ]^{x-2}$

Answer 1

Calcular o limite da função.

Se o limite existir e for finito, então ele assumirá um valor  L:

     $L=\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\mathrm{sen\,}3x}{\mathrm{sen\,}x} \right)^{\!x-2}$


A função é uma composta de exponenciais. Vamos expressá-la em termos de exponenciais e logaritmos:

     $\displaystyle L=\lim_{x\to 0}\exp\!\left[\ln\! \left(\frac{\mathrm{sen\,}3x}{\mathrm{sen\,}x} \right )^{\!x-2}\right]}\\\\\\ L=\lim_{x\to 0}\exp\!\left[(x-2)\cdot \ln\! \left(\frac{\mathrm{sen\,}3x}{\mathrm{sen\,}x}\right)\right]\\\\\\ L=\exp\!\left[\lim_{x\to 0}~(x-2)\cdot \ln\! \left(\frac{\mathrm{sen\,}3x}{\mathrm{sen\,}x}\right)\right]$


Tomando logaritmos dos dois lados:

     $\displaystyle \ln L=\lim_{x\to 0}~(x-2)\cdot \ln\!\left(\frac{\mathrm{sen\,}3x}{\mathrm{sen\,}x} \right)\\\\\\ \ln L=\lim_{x\to 0}~(x-2)\cdot \ln\!\left(\frac{\mathrm{sen\,}3x}{\mathrm{sen\,}x}\cdot \dfrac{3x}{3x}\cdot \dfrac{x}{x} \right)\\\\\\ \ln L=\lim_{x\to 0}~(x-2)\cdot \ln\!\left(\frac{\mathrm{sen\,}3x}{3x}\cdot \dfrac{x}{\mathrm{sen\,}x}\cdot \dfrac{3x}{x} \right)\\\\\\ \ln L=\lim_{x\to 0}~(x-2)\cdot \ln\!\left(\frac{\mathrm{sen\,}3x}{3x}\cdot \dfrac{x}{\mathrm{sen\,}x}\cdot 3 \right)$

     $\ln L=\lim\limits_{x\to 0}~(x-2)\cdot \ln\!\left(\dfrac{\frac{\mathrm{sen\,}3x}{3x}}{~~\frac{\mathrm{sen\,}x}{x}~~}\cdot 3\right)$


Aplicando propriedades de limites, e usando o limite trigonométrico fundamental

     $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{sen\,}ax}{ax}=1\qquad\quad \forall~~a\ne 0$


podemos aplicar a tendência, e obtemos

     $\ln L=(0-2)\cdot \ln\!\left(\dfrac{1}{1}\cdot 3\right)\\\\\\ \ln L=-2\cdot \ln 3$


Dessa forma, o valor do limite será

     $L=e^{\ln L}\\\\ L=e^{-2\ln 3}\\\\ L=(e^{\ln 3})^{-2}\\\\ L=3^{-2}\\\\ L=\dfrac{1}{3^2}$

     $L=\dfrac{1}{9}$    <————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)