Question

Uma indústria de perfumes embala seus produtos, atualmente, em frascos esféricos de raio R, com volume dado por 4/3 π .(R)3.

Observou-se que haverá redução de custos se forem utilizados frascos cilíndricos com raio da base R/3 , cujo volume será dado por π (R/3)2 . h, sendo h a altura da nova embalagem.

Para que seja mantida a mesma capacidade do frasco esférico, a altura do frasco cilíndrico (em termos de R) deverá ser igual a 

Answer 1

$\frac{4 \pi }{3} R^{3} = \pi (\frac{R}{3} ^{2})h$

$\frac{ \frac{4}{3} R^{3} }{ \frac{R}{3} ^{2} } =h$

$h= \frac{ \frac{4 R^{3} }{3} }{ \frac{ R^{2} }{3} }$

$h=4R$

Answer 2

A altura do cilindro deve ser igual a 12R.

Temos que o volume inicial do frasco de perfume (uma esfera) é dado por:

V₁ = 4/3 . π . R³

Ao termos a mudança de embalagem (um cilindro), o novo volume será dado por:

V₂ = π . (R/3)² . h

Queremos que o volume da nova embalagem seja o mesmo da anterior, logo:

V₁ = V₂

Onde h (altura do cilindro) pode ser escrito como:

4/3 . π . R³ = π . (R/3)² . h

4/3 . R³ = R²/9 . h ⇒ Multiplicando por 9

12 . R³ = R² . h

h = 12 . R³ ÷ R²

h = 12R

Espero ter ajudado!