Question

Em um triângulo retângulo ABC, reto em A, tem-se que
tg B + tg C =25/12
O valor de sen B + sen C é:
a) 25/12
b) 12/25
c) 7/5
d) 5/7

Com explicações

Answer 1

$No \ \Delta \ ret\^angulo \ \Delta ABC, \ se \ \widehat{A} \ = \ 90^\circ, \ \widehat{B} \ + \ \widehat{C} \ = \ 90^\circ. \\ \\ \widehat{B} \ e \ \widehat{C} \ s\~ao \ complementares \ \rightarrow \ sen(\widehat{B}) \ = \ cos(\widehat{C}) \ / sen(\widehat{C}) \ = \ cos(\widehat{B})$

$tg(\widehat{B}) \ + \ tg(\widehat{C}) \ = \ \frac{25}{12} \ \rightarrow \\ \\ \frac{sen(\widehat{B})}{cos(\widehat{B})} \ + \ \frac{sen(\widehat{C})}{cos(\widehat{C})} \ = \ \frac{25}{12} \ \rightarrow \\ \\ \frac{sen(\widehat{B})}{cos(\widehat{B})} \ + \ \frac{cos(\widehat{B})}{sen(\widehat{B})} \ = \ \frac{25}{12} \ \rightarrow \\ \\ \frac{sen^2(\widehat{B}) \ + \ cos^2(\widehat{B})}{sen(\widehat{B}) \ \cdot \ cos(\widehat{B})} \ = \ \frac{25}{12} \ \rightarrow$

$\frac{1}{sen(\widehat{B}) \ \cdot \ cos(\widehat{B})} \ = \ \frac{25}{12} \ \rightarrow \\ \\ sen(\widehat{B}) \ \cdot \ cos(\widehat{B}) \ = \ \frac{12}{25} \ \rightarrow \\ \\ sen(\widehat{B}) \ = \ \frac{12}{25 \ \cdot \ cos({\widehat{B})}} \ \rightarrow \\ \\ sen^2(\widehat{B}) \ + \ cos^2(\widehat{B}) \ = \ 1 \ \rightarrow \\ \\ \frac{144}{625 \ \cdot \ cos^2(\widehat{B})} \ + \ cos^2(\widehat{B}) \ = \ 1 \ \rightarrow$

$144 \ + \ 625 \ \cdot \ cos^4(\widehat{B})} \ = \ 625 \ \cdot \ cos^2(\widehat{B})} \ \rightarrow \ cos^2(\widehat{B})} \ = \ x : \\ \\ 625 \ \cdot \ x^2 \ - \ 625 \ \cdot \ x \ + \ 144 \ = \ 0 \\ \\ Resolvendo, \ chegamos \ em : \\ \\ x \ = \ \frac{16}{25} \ e \ x \ = \ \frac{9}{25}, \ ambos \ v\'alidos, logo : \\ \\ cos(\widehat{B}) \ = \ \frac{4}{5} \ ou \ cos(\widehat{B}) \ = \ \frac{3}{5}$

$Lembrando \ que \ \widehat{B} \ e \ \widehat{C} \ est\~ao \ no \ primeiro \ quadrante, \\ ou \ seja, \ t\^em \ senos \ e \ cossenos \ entre \ 0 \ e \ 1 \\ (s\~ao \ maiores \ do \ que \ 0 \ e \ menores \ do \ que \ 90\^circ). \\ \\ Achamos \ ent\~ao \ que, \ se \ cos(\widehat{B}) \ = \ \frac{4}{5}, sen(\widehat{B}) \ = \ \frac{3}{5} \ e \ vice-versa. \\ \\ Mas \ sen(\widehat{B}) \ = \ cos(\widehat{C}) \ e \ sen(\widehat{C}) \ = \ cos(\widehat{B}).$

$Perceba \ que, \ para \ qualquer \ valor \ assumido, \ sempre \ vai \ ser \ ou \ \frac{3}{5} \\ ou \ \frac{4}{5}. \\ \\ Logo, \ \boxed{\boxed{sen(\widehat{B}) \ + \ sen(\widehat{C}) \ = \ \frac{3}{5} \ + \ \frac{4}{5} \ = \ \frac{7}{5}}} \ \rightarrow \ \bold{alternativa \ 'c)'.}$

Answer 2

Resposta:

Letra C: 7/5

Explicação passo-a-passo:

Analisando o esboço do triângulo com base no enunciado da questão, podemos tirar algumas conclusões; Vamos a elas.

Sabemos que:

• sen(x) = Cat. Oposto / Hip.
• cos(x) = Cat. Adjacente / Hip.
• tg(x) = Cat. Oposto / Cat. Adjacente
• cotg(x) = 1/tg(x)
• Teo. Pitágoras: a² = b²+c²

Assim, podemos afirmar que:

• sen(B) = cos (C) = b/a
• cos(B) = sen(C) = c/a
• tg(B) = cotg(C) = b/c

Assim a informação do enunciado se torna:

b/c + c/b = 25/12 [I]

E a pergunta se torna:

b/a + c/a = ? [II]

Agora calculando o MMC de [I] ficamos:

(b²+c²)/b×c = 25/12

a²/b×c = 25/12

Portanto:

a² = 25 => a = 5

b×c = 12 => b = 12/c

Usando o Teo.Pitágoras descobre-se que:

b = 3 ; c = 4

Respondendo a pergunta [II]:

3/5 + 4/5 = 7/5

Abraços, espero que tenha entendido