• Matéria: Matemática
  • Autor: marciomourao4106
  • Perguntado 8 anos atrás

No gráfico acima, estão indicados os pontos A(1,0), B(2,1) e C(0,1), que são fixos, e os pontos P e Q, que se movem simultaneamente. O ponto P se desloca no segmento de reta de C até A, enquanto o ponto Q se desloca no segmento de A até B. Nesses deslocamentos, a cada instante, a abscissa de P é igual à ordenada de Q.
Determine a medida da maior área que o triângulo PAQ pode assumir.

Anexos:

Respostas

respondido por: CamilaSFernandes
16

AB: y = x - 1

AC: y = -x + 1

Pontos: A(1,0) , P(x, -x + 1) e Q( x + 1, x)

AQ = (x√2) e AP = √2 (1 − x)

Área S do triângulo retângulo PAQ:

(x√2 ) × [√2 (1 − x)] ÷ 2

S = x - x²

S₁ = -Δ÷4ₐ

S₁ = - 1 ÷ - 4 = 1/4


respondido por: jhonatasouzasilva
9

Resposta:

S_1 = 1/4

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, vamos encontrar a equação das retas AB e AC, utilizando a equação geral da reta:

y=ax+b

Para reta AB, os pontos A(1,0) e B(2,1):

0=a+b\\1=2a+b\\

Resolvendo esse sistema...

a=1, b=-1

AB:  y=x-1

Para a reta AC, usaremos os pontos A(1, 0) e C(0, 1):

0=a+b\\1=b

Resolvendo esse sistema, teremos:

b=1, a=-1

AC:  y=-x+1

Como a questão nos fala que a abscissa P é igual a ordenada de Q ⇔ P(x, y_p), Q(x_q, x), então teremos:

A(1,0), P(x, -x+1), Q(x+1, x)

Como queremos a área  do triângulo, devemos saber sua altura (AP) e sua base (AQ), então obteremos esses valores usando a distância  entre dois pontos:

d_{AP}=\sqrt{(x-1)^{2}+(-x+1-0)^2}=\sqrt{x^2+2x+1+x^2+2x+1}=\sqrt{2(x^2-2x+1)}=\sqrt{2(1-x)^2}=(1-x)\sqrt{2}

d_{AQ}=\sqrt{(x+1-1)^2+(x-0)^2}=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2x^2}=x\sqrt{2}

d_{AP}=(1-x)\sqrt{2} , d_{AQ}=x\sqrt{2}

Fazendo a  área  do triângulo, obtemos:

A(PAQ)=S=\frac{b.h}{2} =\frac{[x\sqrt{2}].[(1-x)\sqrt{2}]}{2}=\frac{(x-x^2).2}{2}=x-x^2

A questão pede a maior área que o triângulo PAQ pode assumir, como é uma equação do segundo grau, estamos tratando do ponto máximo da parábola (a<0). Usaremos a coordenada yv para obter a área do triângulo PAQ, então:

S_1=y_v=-\frac{b^2-4ac}{4a} =-\frac{1^1-4.(-1).(0)}{4(-1)} =\frac{-1}{-4} =\frac{1}{4}

A(PAQ)=\frac{1}{4}

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