No gráfico acima, estão indicados os pontos A(1,0), B(2,1) e C(0,1), que são fixos, e os pontos P e Q, que se movem simultaneamente. O ponto P se desloca no segmento de reta de C até A, enquanto o ponto Q se desloca no segmento de A até B. Nesses deslocamentos, a cada instante, a abscissa de P é igual à ordenada de Q.
Determine a medida da maior área que o triângulo PAQ pode assumir.
Respostas
AB: y = x - 1
AC: y = -x + 1
Pontos: A(1,0) , P(x, -x + 1) e Q( x + 1, x)
AQ = (x√2) e AP = √2 (1 − x)
Área S do triângulo retângulo PAQ:
(x√2 ) × [√2 (1 − x)] ÷ 2
S = x - x²
S₁ = -Δ÷4ₐ
S₁ = - 1 ÷ - 4 = 1/4
Resposta:
S_1 = 1/4
Explicação passo-a-passo:
Primeiramente, vamos encontrar a equação das retas AB e AC, utilizando a equação geral da reta:
Para reta AB, os pontos A(1,0) e B(2,1):
Resolvendo esse sistema...
∴
AB:
Para a reta AC, usaremos os pontos A(1, 0) e C(0, 1):
Resolvendo esse sistema, teremos:
∴
AC:
Como a questão nos fala que a abscissa P é igual a ordenada de Q ⇔ , então teremos:
Como queremos a área do triângulo, devemos saber sua altura (AP) e sua base (AQ), então obteremos esses valores usando a distância entre dois pontos:
∴
Fazendo a área do triângulo, obtemos:
A questão pede a maior área que o triângulo PAQ pode assumir, como é uma equação do segundo grau, estamos tratando do ponto máximo da parábola (a<0). Usaremos a coordenada yv para obter a área do triângulo PAQ, então:
∴