Question

A função x3 + y3 = 6xy é conhecida como fólio de Descartes. Encontre a equação da reta tangente à função no ponto (3, 3).

Answer 1

$x^{3}+y^{3}=6xy \\ \\ \\ 3x^{2}+3y^{2} \, \displaystyle \frac{dy}{dx}=6y+6x \, \displaystyle \frac{dy}{dx} \\ \\ \\ 3x^{2}-6y+3y^{2} \, \displaystyle \frac{dy}{dx}-6x \, \displaystyle \frac{dy}{dx} =0 \\ \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx}(3y^{2}-6x) = 6y-3x^{2} \\ \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx}= \frac{6y-3x^{2}}{3y^{2}-6x} \\ \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx}= \frac{3(2y-x^{2})}{3(y^{2}-2x)} \\ \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx}= \frac{2y-x^{2}}{y^{2}-2x}$

$m= \displaystyle \frac{2 \cdot 3-3^{2}}{3^{2}-2 \cdot 3}=-1 \\ \\ \\ y-y_o=m(x-x_o) \\ \\ \\ y-3=-1(x-3) \\ \\ \\ y=-x+6 \\ \\ \\ \boxed{\boxed{x+y-6=0}}$

Answer 2

✅ Após finalizar os cálculos, concluímos que a equação reduzida da reta tangente à curva "x³ + y³ = 6xy" (fólio de Descartes), passando pelo ponto de tangência "T(3, 3)" é:

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = -x + 6\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

          $\Large\begin{cases} f: x^{3} + y^{3} = 6xy\\T(3, 3)\\t:\:?\end{cases}$

Para determinarmos a equação da reta tangente ao gráfico de f pelo ponto de tangência "T", devemos utilizar a fórmula do "ponto/declividade", também conhecida por "equação fundamental da reta", que pode ser representada por:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} {\bf I}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

Uma vez sabendo que a curva "f" está definida implicitamente, então o coeficiente angular da reta "t" será igual ao valor numérico da derivada implícita de "f" no ponto "T".

Então, para resolver esta questão, devemos:

• Calcular a derivada implícita mais geral de "f" em função "x";

         $\Large \text { \begin{aligned}(x^{3} + y^{3})' & = (6xy)'\\3x^{2} + 3y^{2}\,y' & = 6\cdot x^{0}\cdot y + 6x\cdot y^{0}\,y'\\3x^{2} + 3y^{2}\,y' & = 6\cdot1\cdot y + 6x\cdot1\,y'\\3x^{2} + 3y^{2}\,y' & = 6y + 6x\,y'\\3y^{2}\,y' - 6x\,y' & = 6y - 3x^{2}\\(3y^{2} - 6x)\,y' & = 6y - 3x^{2}\\y' & = \frac{6y - 3x^{2}}{3y^{2} - 6x}\\y' & = \frac{3\cdot(2y - x^{2})}{3\cdot(y^{2} - 2x)}\\y' & = \frac{2y - x^{2}}{y^{2} - 2x}\end{aligned} }$

        Portanto, a derivada implícita mais geral de "f" em termos de "x" é:

                                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y' = \frac{2y - x^{2}}{y^{2} - 2x}\end{gathered} }$  

• Determinar a derivada implícita aplicada ao ponto "T";

                               $\Large \text { \begin{aligned}y'(T) & = y'(3, 3)\\& = \frac{2\cdot3 - 3^{2}}{3^{2} - 2\cdot3}\\& = \frac{6 - 9}{9 - 6}\\& = -\frac{3}{3}\\& = -1\end{aligned} }$

        Portanto, a derivada implícita aplicada ao ponto "T" é:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y'(T) = y'(3, 3) = -1\end{gathered}$

• Identificar o coeficiente angular da reta tangente "t":

         Uma vez sabendo que o coeficiente angular da reta "t" será igual ao valor numérico da derivada implícita de "f" no ponto "T".  Então:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{t} = y'(T) = y'(3, 3) = -1\end{gathered}$

       Portanto:

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{t} = -1\end{gathered}$

• Montar a equação da reta tangente. Para isso, devemos inserir na equação "I" os valores das coordenadas do ponto "T", bem como o valor do coeficiente angular da reta, ou seja:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 3 = -1\cdot(x - 3)\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 3 = -x + 3\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = -x + 3 + 3\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = -x + 6\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação reduzida da reta tangente é:

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} t : y = -x + 6\end{gathered}$

         

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/19251804
2. https://brainly.com.br/tarefa/3086991
3. https://brainly.com.br/tarefa/54453920
4. https://brainly.com.br/tarefa/12092859
5. https://brainly.com.br/tarefa/16205812

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$