Question

prove que, se o produto de dois numeros complexos é zero, então pelo menos um deles deve ser zero

Answer 1

Seja z = a + bi e w = c + di esses dois números, então temos:

(a + bi)(c + di) = 0
ac - bd + (ad + bc)i = 0

Temos que a parte real e imaginária devem ser 0 independente:

ac = bd
ad = -bc

Assumimos c != 0 e d != 0, então:

adc = bd^2
-adc = bc^2

(c^2 + d^2)b = 0

Como c e d são diferentes de 0, concluímos que b é 0, e consequentemente a é 0, ou seja, z é 0. Como o problema é "simétrico" concluímos o desejado.