Question

Um balão sobe verticalmente acima de uma estrada plana a uma velocidade constante de 2 pés/s. Quando está a 70 pés acima do solo, uma bicicleta que se desloca a uma velocidade constante de 20 pés/s passa sob ele. A que taxa a distância s(t) entre a bicicleta e o balão aumentará 5 segundos mais tarde?

Answer 1

Considere o eixo y como sendo uma altura em função de tempo y(t) e o eixo x como deslocamento em função de tempo x(t) ,

Observe que eh dada a velocidade que o balão sobe ou seja , Velocidade eh uma derivada da altura em função do tempo dy/dt ou y`(t) , de 2 pês/s , y`(t)=2.

também eh dado a velocidade de deslocamento da bicicleta , que também eh a derivada do x(t) , 20 pés/s , nosso dx/dt ou x`(t) sera x`(t)= 20.

O que eh perguntado eh a distancia S(t) que sera a distancia exata no ponto onde a bicicleta cruza o balão apos 5 segundos ,e sua derivada ds/dt ou s`(t) que sera a velocidade a que o balão se afasta da bicicleta.

a distancia S(t) pode ser chamada de hipotenusa , quando observamos que possuímos os dois catetos e sabemos os valores deles , podemos aplicar o teorema de Pitagoras , C² = a² + b² , substituindo pelo S(T)^2= x^2 + y^2
 primeiro identificamos q o problema quer os valores de x e y apos 5 segundos , logo;

x= 20 . 5 = 100 pés
y= 70 + ( 2 . 5) = 80 pés


S(t)^2 = 100^2 + 80^2
S(t)= √16400 ≅ 128,06 pés.

agora vamos a derivada , a taxa que o  balão se afasta , aplicamamos novamente o teorema e derivamos a função.

S²(t)= x²(t) + y²(t) , perceba que oque sera derivado serão a variáveis em função do tempo. ( derivação implicita )

d/dt( S²(t)= x²(t) + y²(t) ) =

2S.S' = 2x.x' + 2y.y'

S' = 2x.x' + 2y.y' / 2S ( simplificando)

S' = x.x' + y.y' / S ( agora substituindo os valores de x e x' , e y e y' )

S' = 100.20 + 80.2 / 128,06

S' = 16,86 pés/s