Question

Dado os vetores u->=(2,1,-1) e v->=(1,-1,a), qual o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por u--> e v--> seja igual a √62 (raiz quadrada de 62)

Answer 1

A área do paralelogramo no espaço tridimensional é dado por:

$A= || u \times v ||$

Agora vamos às operações:

$|| u \times v || = \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&1&-1\\1&-1&a\end{array}\right] \\ \\ \\ || u \times v || = -j+ai-2k-2aj-k-1 \\ \\ \\ || u \times v || = (a-1)i + (-1-2a)j - 3k \\ \\ \\ || u \times v || = (a-1,-2a-1,-3) \\ \\ \\ || u \times v || = \sqrt{(a-1)^{2}+(-2a-1)^{2}+(-3)^{2}} \\ \\ \\ || u \times v || = \sqrt{a^{2}-2a+1+4a^{2}+4a+1+9} \\ \\ \\ || u \times v || = \sqrt{5a^{2}+2a+11}$

Concluindo:

$A = || u \times v || \\ \\ \\ \sqrt{62} = \sqrt{5a^{2}+2a+11} \\ \\ \\ (\sqrt{62})^{2} = 5a^{2}+2a+11 \\ \\ \\ 62 = 5a^{2}+2a+11 \\ \\ \\ 62 - 5a^{2} - 2a - 11 = 0 \\ \\ \\ -5a^{2} - 2a + 51 = 0$

Calculando as raízes, os valores de a que fazem com que a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v seja √62:

$-5a^{2} - 2a + 51 = 0 \\ \\ \\ a' = \displaystyle -\frac{17}{5} \\ \\ \\ a''=3$