Question

Das alternativas a seguir identifique qual é a solução para o problema de valor inicial y´´+16y=0, y(0)=0 e y´(0)=1. resolvida

Answer 1

Integrando a expressão que segue, encontraremos a primeira derivada da função:

$\displaystyle y''(x) + 16y = 0 \\ \\ \\ y''(x) = -16y \\ \\ \\ \int -16y \, dx \\ \\ \\ y'(x) = -8x^{2}+c$

Sendo y'(0) = 1, vamos encontrar o valor da constante c:

$y'(x)=-8x^{2} +c \\ \\ \\ -8 \cdot 0^{2} + c = 1 \\ \\ \\ c=1$

Então, a primeira derivada da função é:

$y'(x)=-8x^{2}+1$

Integrando essa primeira derivada, chegaremos à função inicial:

$y'(x)=-8x^{2}+1 \\ \\ \\ \displaystyle \int -8x^{2}+1 \, dx \\ \\ \\ y(x)=-\frac{8}{3}x^{3}+x+c$

Se y(0) = 0, só nos resta encontrar o valor da constante c:

$\displaystyle y(x)=-\frac{8}{3}x^{3}+x+c \\ \\ \\ -\frac{8}{3} \cdot 0^{3}+0+c=0 \\ \\ \\ c=0$

E por fim, a função que atente à todos os requisitos:

$\boxed{\boxed{\displaystyle y(x)=-\frac{8}{3}x^{3}+x}}$