Question

Um recipiente hermeticamente fechado e opaco contém bolas azuis e bolas brancas. As bolas de mesma cor são idênticas entre si e há pelo menos uma de cada cor no recipiente. Na tentativa de descobrir quantas bolas de cada cor estão no recipiente, usou‐se uma balança de dois pratos. Verificou‐se que o recipiente com as bolas pode ser equilibrado por:

i) 16 bolas brancas idênticas às que estão no recipiente ou
ii) 10 bolas brancas e 5 bolas azuis igualmente idênticas às que estão no recipiente ou
iii) 4 recipientes vazios também idênticos ao que contém as bolas.

Sendo PA, PB e PR, respectivamente, os pesos de uma bola azul, de uma bola branca e do recipiente na mesma unidade de medida, determine

a) os quocientes PA/PB e PR/PB;
b) o número nA de bolas azuis e o número nB de bolas brancas no recipiente.

Answer 1

a) 1) Podemos montar a equação da 1ª afirmação:
$n_{A} . P_{A} + n_{B} . P_{B} + P_{R} = 16 . P_{B} (I)$

Podemos montar a equação da 2ª afirmação:
$n_{A} . P_{A} + n_{B} . P_{B} + P_{R} = 10 . P_{B} + 5 . P_{A} (II)$ 

Podemos montar a equação da 3ª afirmação:
$n_{A} . P_{A} + n_{B} . P_{B} + P_{R} = 4 P_{R} (III)$


2) Temos das equações I e II:
16$P_{B} = 10 P_{B} + 5 . P_{A}$ ⇔ $6 P_{B} = 5 P_{A}$ ⇔
⇔ $\frac{P_A}{P_B} = \frac{6}{5}$


3) Temos das equações I e III: 
$16 P_{B} = 4 P_{R}$ ⇔ $\frac{P_R}{P_B} = 4$


b) Sabendo que $P_{A} = \frac{6}{5} P_{B}$ e que $P_{R} = 4.P^{B}$, na equação (III), temos:
$n_{A} . \frac{6}{5} P_{B} + n_{B} . P_{B} + 4 P_{B} = 16 P_{B}$ ⇔
⇔ $\frac{6n_A}{5} + n_B = 12$ ⇒ 
$n_{B} = 12 - \frac{¨n_A}{5}$


Sabemos que $n_{A}$ e  $n_{B}$ são naturais e não nulos, temos:
12 - $\frac{6n_A}{5}$ > 0 ⇔ $n_{A}$ < 10 e $n_{A}$ é múltiplo de 5.

Portanto, o único valor possível para $n_{A}$ é 5, e para $n_{B}$ = 6.