Question

(FUVEST) A solução da desigualdade $sen^{2} x - \frac{1}{2} \geq 0$, no intervalo [0, π], é:
A) $0 \leq x \leq \frac{ \pi }{4} ou \frac{3 \pi }{4} \leq x \leq \pi$
B)$\frac{ \pi }{4} \leq x \leq \frac{3 \pi }{4}$
C) $\frac{ \pi }{3} \leq x \leq \frac{2 \pi }{3}$
D) $0 \leq x \leq \frac{ \pi }{6} ou \frac{5 \pi }{6} \leq x \leq \pi$
E) $\frac{ \pi }{3} \leq x \leq \frac{ \pi }{2}$

Answer 1

$sen^2(x) \ - \ \frac{1}{2} \ \geq \ 0 \ \rightarrow \\ \\ sen^2(x) \ \geq \ 0 \ \rightarrow \\ \\ sen(x) \ \geq \ \sqrt{\frac{1}{2}} \ \rightarrow \\ \\ sen(x) \ \geq \ \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{ \ 2}} \ \rightarrow \\ \\ sen(x) \ \geq \ \frac{1}{\sqrt{2}} \ \rightarrow \\ \\ sen(x) \ \geq \ \pm \ \frac{\sqrt{2}}{2} \ \rightarrow$

$Vamos \ fazer \ a \ an\'alise \ dos \ quadrantes. \\ \\ No \ primeiro, \ [0, \ \frac{\pi}{2}], o \ intervalo \ senoidal \ vai \ de :$

$[sen(0), \ sen(\frac{\pi}{2})] \ \rightarrow \ [0, \ 1] \Rightarrow \\ \\ Ou \ seja, \ \`a \ medida \ que \ o \ \^angulo \ cresce, \ o \ seu \ seno \ tamb\'em \ cresce.$

$No \ segundo, \ ]\frac{\pi}{2}, \ \pi], o \ intervalo \ senoidal \ vai \ de :$

$]sen(\frac{\pi}{2}), \ sen(\pi)] \ \rightarrow \ ]1, \ 0] \Rightarrow \\ \\ Ou \ seja, \ \`a \ medida \ que \ o \ \^angulo \ cresce, \ o \ seu \ seno \ diminui.$

$Voltemos \ \`a \ desigualdade \ : \\ \\ sen(x) \ \geq \ \pm \ \frac{\sqrt{2}}{2} \ \rightarrow \ Em \ ambos \ os \ quadrantes, \ 0 \ \leq \ sen(x) \ \leq \ 1 : \\ \\ sen(x) \ \geq \ \frac{\sqrt{2}}{2} \ \rightarrow \\ \\ Para \ o \ primeiro \ quadrante \ [0, \ \frac{\pi}{2}] \ \longrightarrow \\ \\ Como \ o \ seno \ aumenta \ junto \ com \ o \ \^angulo : \\ \\ x \ \geq \ arcsen(\frac{\sqrt{2}}{2}) \ \rightarrow \\ \\ x \ \geq \ \underbrace{\frac{\pi}{4}}_{= \ 45^\circ \ (\^angulo \ not\'avel)}$

$Ou \ seja, \ neste \ intervalo, \ temos \Rightarrow \\ \\ U_1 \ = \ \boxed{\frac{\pi}{2} \ \geq \ x \ \geq \ \frac{\pi}{4}}$

$Para \ o \ segundo \ quadrante \ [\frac{\pi}{2}, \ \pi] \ \longrightarrow \\ \\ Como \ o \ seno \ diminui \ com \ o \ aumento \ do \ arco : \\ \\ x \ \underbrace{\leq}_{quanto \ menor \ for \ o \ arco, \ maior \ \'e \ o \ seno} \ arcsen(\frac{\sqrt{2}}{2}) \ \rightarrow \\ \\ \\ x \ \leq \ \underbrace{\frac{3 \ \cdot \ \pi}{4}}_{= \ 135^\circ \ (\^angulo \ not\'avel, \ proje\c{c}\~ao \ de \ 45^\circ \ no \ segundo \ quadrante)}$

$Ou \ seja, \ temos \ \Rightarrow \\ \\ U_2 \ = \ \boxed{\frac{3 \ \cdot \ \pi}{4} \ \geq \ x \ \ \textgreater \ \ \frac{\pi}{2}}$

$Fazendo \ a \ \bold{uni\~ao} \ de \ conjuntos \ \longrightarrow \\ \\ \underbrace{S}_{conjunto \ solu\c{c}\~ao} \ = \ U_1 \ \cup \ U_2 \ \rightarrow \\ \\ \\ S \ = \ (\frac{\pi}{2} \ \geq \ x \ \geq \ \frac{\pi}{4}) \ \cup \ (\frac{3 \ \cdot \ \pi}{4} \ \geq \ x \ \ \textgreater \ \ \frac{\pi}{2}) \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{S \ = \ \frac{3 \ \cdot \ \pi}{4} \ \geq \ x \ \geq \ \frac{\pi}{4}}} \ \bold{\Rightarrow \ Alternativa \ 'B)'!}$