Question

Veja um desenho comum encontrado em ladrilhos chineses, feitos muitos antes do teorema de Pitágoras ser enunciado. a figura é formada por triângulos congruentes entre si. Explique por que esse desenho pode servir como exemplo do teorema de Pitágoras. Os triângulos que formam essa figura são triângulos retângulos e isósceles.

Answer 1

Veja um desenho comum encontrado em ladrilhos chineses, feitos muitos antes do teorema de Pitágoras ser enunciado. a figura é formada por triângulos congruentes entre si. Explique por que esse desenho pode servir como exemplo do teorema de Pitágoras. Os triângulos que formam essa figura são triângulos retângulos e isósceles.

VEJA pelo DESENHO do triangulo  (cor ABOBORA)

(1º)primeiro
lado esquerdo VERTICAL tem
é um QUADRADO (com 2 triangulos)
c = 2Δ triangulos formando um quadradoFICA
2Δ = c

(2º)
linha HORIZONTAL tem
é um QUADRADO ( com 2 triangulos)
b = 2Δ triangulos formando um QUADRADO  
2Δ = b

(3º) linha diagonal( hipotenusa)
é um QUADRADO ( com 4 triangulos)
a = 4Δ triangulos( formando um QUADRADO DOBRADO)
4Δ = a

assim
a = b + c
a = 2 + 2
a = 4    ( 4 triangulo (formando um QUADRADO DOBRADO)   

Answer 2

Lembre-se que por definição o Teorema de Pitágoras (que usamos sempre de forma simplificada) na verdade diz o seguinte:

A soma das áreas dos triângulos construidos com os catetos do triângulo retângulo é igual a área do retângulo construido com a hipotenusa;
Como a área de um quadrado é lado^2, deduziu sua fórmula tradicional.

Passada a historinha vamos ao problema:

Pelos dados da questão:
1º) Triângulos são congruentes:  logo seus lados e ângulos correspondentes são congruentes. São triângulos IGUAIS;
2º) São triângulos isósceles: seus catetos tem a mesma medida;

Vamos estudar os casos de congruência a partir do triângulo amarelo:
1) Com o triângulo acima dele:
    - tem um lado comum (a hipotenusa)
    - tem ângulos correspondentes iguais (Soma dos ângulos internos de um triângulo = 180, 180-90= 90  90:2= 45º que é a medida de cada um dos outros 2 ângulos nos dois triângulos) e o ângulo de 90º; 4º caso de congruência de triângulos (LAAo), logo tem as mesmas medidas, são IGUAIS;

Com o mesmo raciocínio descobrimos que os demais triângulos são iguais entre si;
Basta então olhar a figura e ver que temos 4 triângulos acima do triângulo amarelo que tem a mesma área dos 4 triângulos abaixo e que os mesmos formam um quadrilátero com as mesmas medidas (no caso um quadrado), ou seja:

A área do quadrilátero construido sobre a hipotenusa é igual a área do quadrilátero construido sobre os catetos"; como neste caso provamos que os lados são iguais temos um quadrado:

H^2=C1^2+C2^2