Question

O gráfico da função Y= ax²+bx+c é o apresentado abaixo. Determine os coeficientes A.B eC.

Answer 1

Tratasse da função da parábola, então é so irmos para o gráfico, para tirarmos os coeficientes da parábola.
X=0 e X=4, são os zeros da função, são os pontos em que a parábola, corta o eixo do x.
Para x =2, y=1
1=a.(2)² + 2b, daí sai 1=4a + 2b
A parábola passa pelo origem do eixo cartesiano, daí saí:
x = 0, y=0, substituindo temos:
0 = a.(0)² + b(0) + c, da onde sai que c=0
0 = 16a + 4b, temos duas equações e substituindo, uma na outra temos:
b = 1 e a = -1/4, portanto a função da parábola será: Y =-1/4x² + x

Answer 2

A equação sendo do segundo grau: 

ax²+bx+c=0

Então olhando o gráfico sabemos que o termo c é o local onde o gráfico toca no eixo y, portanto:
C=0

Quando x vale 4  a função vale  zero:
ax²+bx+c=0
a.4²+b.4+0=0
16a+4b=0

Quando x vale 2 a função vale 1:
ax²+bx+c=0
a.2²+b.2+0=1
4a+2b=1

Resolvendo o sistema:
16a+4b=0       (: -2)divide por -2
  4a+2b=1

-8a -2b =0
 4a+2b =1
-4a = 1    (-1)

4a=-1
a=-1/4

Substituindo a em :
4a+2b=1
4.(-1/4)+2b=1
-1+2b=1
2b=1+1
2b=2
b=2/2
b=1

Então: 
a = -1/4
b= 1
c=0

-1/4x² + 1x +0 =0
 -1/4x² + x =0