Question

Resolva os três itens abaixo.

a) Calcule cos(3π/8) e sen(3π/8).

b) Dado o número complexo z = √(2 – √2) + i. √(2 +√2), encontre o menor inteiro n > 0 para o qual z^n seja real.

c) Encontre um polinômio de coeficientes inteiros que possua z como raiz e que não possua raiz real.

Answer 1

a) Salientando que cos(2x) = 2 . cos²x-1 e cos(2x) = 1 - 2 . sen²x, para x = $\frac{3 \pi }{8}$, temos:

I) cos $\frac{3 \pi }{4} = 2 . cos^2 \frac{3 \pi }{8} - 1$ ⇔
⇔ - $\frac{ \sqrt{2} }{2} = 2 . cos^2 \frac{3 \pi }{8} - 1$⇔
⇔ 2 . cos² $\frac{3 \pi }{8} = [tex] \frac{2 - \sqrt{2} }{2}$ ⇒
⇒ cos $\frac{3 \pi }{8} = \frac{ \sqrt{2} - \sqrt{2} }{2}$

II) cos $\frac{3 \pi }{4} = 1 - 2 . sen^2 \frac{3 \pi }{8}$⇔
⇔ $\frac{ \sqrt{2} }{2} = 1 - 2. sen^2 \frac{3 \pi }{8}$⇔
⇔ 2 . sen^2 $\frac{3 \pi }{8} = \frac{2 + \sqrt{2} }{2}$ ⇒
⇒ sen $\frac{3 \pi }{8} = \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2} } }{2}$


b) I) z = $\sqrt{2 - \sqrt{2} } + i . \sqrt{2 + \sqrt{2} } =$
= 2. $( \frac{ \sqrt{2 - \sqrt{2} } }{2} + i . \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2} } }{2} =$
= 2 . $(cos \frac{3 \pi }{8} + i . sen \frac{3 \pi }{8})$

II) $z^{n} = 2^{n} . [ cos (n . \frac{3 \pi }{8}) + i . sen (n. \frac{3 \pi }{8})]$ ∈ R.

logo, 
sen $(n. \frac{3 \pi }{8}) = 0$ ⇔ $n . \frac{3 \pi }{8} = k . \pi$ ⇔
⇔ n = $\frac{8k}{3} . k$ ∈ Z.

III) O menor valor inteiro de n > 0 ocorre para
k = 3, logo, n = $\frac{8 . 3}{3} = 8$
n = 8


c) Como z⁸ ∈ R e z⁸ = 2⁸ . (cos 3π + i . sen 3π) ⇔ z⁸ = - 256 ⇔ ⁸ + 256 = 0, um polinômio com raiz z, sem raízes reais e com coeficientes inteiros, é P(x) = x⁸ + 256