Question

)Determine um vetor da mesma direção de v= 2 i– j+2 k e que:
a) tenha norma (módulo) igual a 9;
b) seja o versor de v;
c) tenha módulo igual a metade de v.

Answer 1

a) Vetor na mesma direção significa um vetor paralelo ou proporcional ao vetor dado. É tudo a mesma coisa. E com módulo igual a 9. Acompanhe:

$\displaystyle v= (2,-1,2) \\ \\ a=(a,b,c) \\ \\ \frac{v}{a} \to \frac{(2,-1,2)}{a,b,c} \to \frac{2}{a}=-\frac{1}{b}=\frac{2}{c} \\ \\ \\ \frac{2}{a}=-\frac{1}{b} \to a=-2b \\ \\ \\ -\frac{1}{b}=\frac{2}{c} \to c=-2b \\ \\ \\ ||a|| = 9 \to \sqrt{a^2+b^2+c^2}=9 \to a^2+b^2+c^2=9^2 \\ \\ a^2+b^2+c^2=81 \\ \\ (-2b)^2+b^2(-2b)^2=81 \\ \\ 4b^2+b^2+4b^2=81 \\ \\ 9b^2=81 \\ \\ \boxed{b=3} \\ \\ \boxed{a=-6} \\ \\ \boxed{c=-6} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{a=(-6,3,-6)}} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{a=(6,-3,6)}}$

b) Um versor de um vetor é um vetor de módulo igual a 1 que tem a mesma direção do vetor dado. Já temos um vetor na mesma direção de v, e para fazê-lo ter módulo igual a 1, só temos que dividir cada termo por seu módulo. Daí ficamos com:

$\displaystyle a=(\frac{6}{9},-\frac{3}{9},\frac{6}{9}) \\ \\ \\ \boxed{\boxed{a=(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3})}}$

c) A metade de v será:

$\displaystyle \frac{||v||}{2}=\frac{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}{2}=\frac{3}{2}$

Teremos agora que multiplicar o vetor da letra b) por 3/2 

$\displaystyle a=\frac{3}{2} \cdot (\frac{2}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3})}} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{a=(1,-\frac{1}{2},1)}}$