Question

( Unicamp-SP) o processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por:
....

Answer 1

$\boxed{T_{(t)} \ = \ T_A \ + \ \alpha \ \cdot \ 3^{(\beta \ \cdot \ t)}}$

$Com \ a \ temperatura \ do \ ambiente \ T_A \ = \ -18^\circ \ C \ : \\ \\ 1^\circ \ situa\c{c}\~ao \ \Rightarrow \\ \\ O \ recipiente \ chegou \ a \ 0^\circ \ em \ t_1 \ = \ 90 \ minutos \ : \\ \\ 0 \ = \ -18 \ + \ \alpha \ \cdot \ 3^{(90 \ \cdot \ \beta)} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{18 \ = \ \alpha \ \cdot \ 3^{(90 \ \cdot \ \beta)}} \ (I)$

$2^\circ \ situa\c{c}\~ao \ \Rightarrow \\ \\ O \ recipiente \ chegou \ a \ -16^\circ \ em \ t_2 \ = \ 270 \ minutos \ : \\ \\ -16 \ = \ -18 \ + \ \alpha \ \cdot \ 3^{(270 \ \cdot \ \beta)} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{2 \ = \ \alpha \ \cdot \ 3^{(270 \ \cdot \ \beta)}} \ (II)$

$Dividindo \ (I) \ por \ (II) \ \Roghtarrow \\ \\ \frac{18}{2} \ = \ \frac{\not{\alpha} \ \cdot \ 3^{(90 \ \cdot \ \beta)}}{\not{\alpha} \ \cdot \ 3^{(270 \ \cdot \ \beta)}} \ \rightarrow \\ \\ 9 \ = \ 3^{(90 \ \cdot \ \beta \ - \ 270 \ \cdot \ \beta)} \ \rightarrow \\ \\ 3^2 \ = \ 3^{(-180 \ \cdot \ \beta)} \ \rightarrow \ Bases \ iguais : \ Iguala-se \ os \ expoentes \ : \\ \\ 2 \ = \ -180 \ \cdot \ \beta \ \rightarrow \\ \\ \beta \ = \ \frac{2}{-180} \ \rightarrow$

$\boxed{\boxed{\beta \ = \ - \frac{1}{90} min^{(-1)}}}$

$Substituindo \ em \ (I), \ por \ exemplo \ \Rightarrow \\ \\ \\ 18 \ = \ \alpha \ \cdot \ 3^{(90 \ \cdot \ \frac{-1}{90})} \ \rightarrow \\ \\ 18 \ = \ \alpha \ \cdot \ 3^{(-1)} \ \rightarrow \\ \\ 18 \ = \ \frac{\alpha}{3} \ \rightarrow \\ \\ \alpha \ = \ 3 \ \cdot \ 18 \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{\alpha \ = \ 54^\circ \ C}}$

$\bold{(\alpha \  e \ \beta \ t\^em \ que \ ser \ dimensionais).}$

$Ok... \\ \\ Agora, \ supondo \ uma \ temperatura \ T_{(t)} \ \frac{2}{3} \ superior \ \`a \ do \ ambiente \dots$

$Para \ tanto, \ (\alpha \ = \ 54^\circ \ C \ e \ \beta \ = \ - \frac{1}{90} \ min^{(-1)}) \ temos \ \Rightarrow \\ \\ \longrightarrow \ \boxed{T_{(t)} \ - \ T_A \ = \ \frac{2^\circ \ C}{3}}$

$T_{(t)} \ = \ T_A \ + \ 54 \ \cdot \ 3^{(\frac{-t}{90})} \ \rightarrow \\ \\ \underbrace{T_{(t)} \ - \ T_A}_{\frac{2^\circ \ C}{3}} \ = \ 54 \ \cdot \ 3^{(\frac{-t}{90})} \ \rightarrow \\ \\ \frac{2}{3} \ = \ 54 \ \cdot \ 3^{(\frac{-t}{90})} \ \rightarrow \\ \\ \frac{1}{27 \ \cdot \ 3} \ = \ 3^{(\frac{-t}{90})}\ \rightarrow \\ \\ \frac{1}{3^4} \ = \ 3^{(\frac{-t}{90})} \ \rightarrow \\ \\ 3^{-4} \ = \ 3^{(\frac{-t}{90})} \ \rightarrow \ Igualando \ os \ expoentes :$

$-4 \ = \ \frac{-t}{90} \ \rightarrow \\ \\ t \ = \ 4 \ \cdot \ 90 \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{t \ = \ 360 \ minutos \ (6 \ horas)}}$

Answer 2

Resposta:

a) a= 54ºC e b= 1/-190 min ^(-1)

b) t = 360 minutos ( 6 horas )

Explicação passo-a-passo:

A)T(t) =  Ta + a . 3 ^(b.t)  

Se Ta = -18ºC , então:

Situação 1: Copo à 0º em t1 = 90 minutos:

0 = -28 + a . 3^(90 . b)        ->        18 = a . 3^(90 . b)

Situação 2: Copo chegou à -16ºC em t2 = 270 minutos:

-16 = -18 + a . 3^(270 . b)        ->       2= a . 3^(270 . b)

Situação 1 / situação 2 = 18/2 = a.3^(90 . b) / a . 3^(270 . b)       ->      9= 3^(90 . b - 270 . b)         ->         3^2 = 3(-180 . b)       ->         2= -180 . b

b =  2/-180          ->           b= 1/-190 min ^(-1)  

18= a . 3^(90 . -1/90)         ->        18 = a . 3^(-1)       ->        18= a/3         ->          a= 54ºC

b) a = 54ºC e b = -1/90

T(t) - Ta = 2ºC / 3       ->           T(t)= Ta + 54  . 3 ^(-t/90)          ->           T(t) - Ta = 54 . 3^(-t/90)        ->         2/3 = 54 . 3^(-t/90)

1/ 27.3 = 3^(-t/90)         ->         1/3^4 = 3^(-t/90)            ->           -4 = -t/90       ->         -4 = -t/90          ->          t= 4 . 90

t = 360 minutos ( 6 horas )