Question

Na figura, MNPQ é um retângulo. Sendo MN=6 cm NP=3 cm e MR=RS=SP,qual é área do triângulo RSN?

Answer 1

$A_{(\triangle)} \ = \ \frac{L_j \ \cdot \ L_n \ \cdot \ sen(\psi)}{2} \ \rightarrow \\ \\ A_{(\triangle)} \ \rightarrow \ \'Area \ de \ um \ tri\^angulo; \\ \\ L_j \ e \ L_n \ \rightarrow \ Lados \ deste \ tri\^angulo; \\ \\ \psi \ \rightarrow \ \^Angulo \ entre \ L_j \ e \ L_n.$


$Como \ MNPQ \ \'e \ ret\^angulo, \ P\widehat{N}M \ = \ 90^\circ. \\ \\ MNP \ \'e \ um \ \triangle \ ret\^angulo, \ com \ catetos \ PN \ = \ 3 \ e \ NM \ = \ 6 \ e \\ hipotenusa \ PM. \\ \\ Teorema \ de \ Pit\'agoras \ \Rightarrow$

$PM^2 \ = \ PN^2 \ + \ NM^2 \ rightarrow \\ \\ PM^2 \ = \ 3^2 \ + \ 6^2 \ \rightarrow \\ \\ PM^2 \ = \ 9 \ + \ 36 \ \rightarrow \\ \\ PM^2 \ = \ 45 \ \rightarrow \\ \\ PM \ = \ \sqrt{45} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{PM \ = \ 3 \ \cdot \ \sqrt{5} \ unidades}$

$MR \ = \ RS \ = \ SP \ e \ PM \ = \ 3 \ \cdot \ \sqrt{5}. \\ \\ Logo, \ MR \ = \ RS \ = \ SP \ = \ \frac{\not{3} \ \cdot \ \sqrt{5}}{\not{3}} \ = \ \boxed{\sqrt{5} \ unidades}$

$cos(N\widehat{M}P) \ = \ \frac{cateto \ adjacente}{hipotenusa} \ \rightarrow \\ \\ cos(N\widehat{M}P) \ = \ \frac{MN}{MP} \ \rightarrow \\ \\ cos(N\widehat{M}P) \ = \ \frac{6}{3 \ \cdot \ \sqrt{5}} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{cos(N\widehat{M}P) \ = \ \frac{2}{\sqrt{5}}}$

$sen(N\widehat{M}P) \ = \ \frac{cateto \ oposto}{hipotenusa} \ \rightarrow \\ \\ sen(N\widehat{M}P) \ = \ \frac{NP}{MP} \ \rightarrow \\ \\ sen(N\widehat{M}P) \ = \ \frac{\not{3}}{\not{3} \ \cdot \ \sqrt{5}} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{sen(N\widehat{M}P) \ = \ \frac{1}{\sqrt{15}}}$

$No \ \triangle MRN \ \Rightarrow \\ \\ Lei \ do \ Cosseno \ para \ N\widehat{M}R \ = \ N\widehat{M}P \ : \\ \\ RN^2 \ = \ MR^2 \ + \ MN^2 \ - 2 \ \cdot \ MR \ \cdot \ MN \ \cdot \ cos(N\widehat{M}R) \ \rightarrow \\ \\ RN^2 \ = \ \sqrt{5}^2 \ + \ 6^2 \ - \ 2 \ \cdot \ \not{\sqrt{5}} \ \cdot \ 6 \ \cdot \ \frac{2}{\not{\sqrt{5}}} \ \rightarrow \\ \\ RN^2 \ = \ 5 \ + \ 36 \ - \ 24 \ \rightarrow \\ \\ RN^2 \ = \ 17 \ \rightarrow \\ \\ \boxed{RN \ = \ 17 \ unidades}$

$Lei \ dos \ Senos \ (raz\~ao \ constante \ entre \ lados \ e \ senos \ de \ seus \\ \bold{\^angulos \ opostos}) \ \Rightarrow \\ \\ \frac{MN}{sen(M\widehat{R}N)} \ = \ \frac{RN}{sen(N\widehat{M}R)} \ \rightarrow \\ \\ \frac{6}{sen(M\widehat{R}N)} \ = \ \frac{\sqrt{17}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} \ \rightarrow \\ \\ \frac{6}{\sqrt{5}} \ = \ \sqrt{17} \ \cdot \ sen(M\widehat{R}N) \ \rightarrow \\ \\ \boxed{sen(M\widehat{R}N) \ = \ \frac{6}{\sqrt{5} \ \cdot \ \sqrt{17}}}$


$No \ \triangle NRS \ \Rightarrow \\ \\ Observe \ que \ M\widehat{R}N \ junto \ com \ N\widehat{R}S \ completam \ um \ raso \ \longrightarrow \\ \\ M\widehat{R}N \ + \ N\widehat{R}S \ = \ 180^\circ \ \Rightarrow \ Logo, \ eles \ s\~ao \ \bold{suplementares!} \\ \\ Por \ isso, \ \boxed{sen(M\widehat{R}N) \ = \ sen(N\widehat{R}S) \ = \ \frac{6}{\sqrt{5} \ \cdot \ \sqrt{17}}}$


$Por \ isso, \ sabendo \ que \ \Rightarrow \\ \\ \longrightarrow \ RS \ = \ \sqrt{5} \ unidades; \\ \\ \longrightarrow \ RN \ = \ \sqrt{17} \ unidades; \\ \\ \longrightarrow \ sen\underbrace{(N\widehat{R}S)}_{\^angulo \ entre \ RS \ e \ RN} \ = \ \frac{6}{\sqrt{5} \ \cdot \ \sqrt{17}} \ \dots$

$A_{(\triangle NRS)} \ = \ \frac{RS \ \cdot \ RN \ \cdot \ sen(N\widehat{R}S)}{2} \ \rightarrow \\ \\ A_{(\triangle NRS)} \ = \ \frac{\not{\sqrt{5}} \ \cdot \ \not{\sqrt{17}} \ \cdot \ \frac{6}{\not{\sqrt{5}} \ \cdot \ \not{\sqrt{17}}}}{2} \ \rightarrow \\ \\ A_{(\triangle NRS)} \ = \ \frac{6}{2} \ \rightarrow$

$\boxed{\boxed{A_{(\triangle NRS)} \ = \ 3 \ unidades \ de \ \'area / unidades \ quadradas}}$