Question

Demonstre que o limite da função f(x) abaixo quando x tende a zero é igual ao logaritmo natural de a:

F(x) = (a^x - 1) / x = ln a

Answer 1

Lim  (a^x - 1) / x        
x-->0

Usando L'Hôpita's

Lim  (a^x - 1)' / x '       
x-->0

Lim  (a^x - 1)' / 1      
x-->0

########################
y=a^x
ln y = ln a^x
y=e^(ln a^x)
y=e^(x*ln a)
y'=(x*ln a)' * e^(x*ln a)
y'=(ln a) * e^(x*ln a)
##########################

Lim  (a^x - 1)' / x '       
x-->0

Lim  (ln a) * e^(x*ln a) = ln a* eº   = ln a 
x-->0