Question

Ao fazer uma planta de uma pista de atletismo,um engenheiro determinou que, no sistema de coordenadas usado,tal pista deveria obedecer a equação:X2 + y2 + 4x - 10y + 25=0desse modo,os encarregados de executar a obra começaram a construção e notaram que se tratava de uma circunferência de ;A) raio 4 e centro nos pontos de coordenadas (-2,5)
B)raio 4 e centro nos pontos de coordenadas (2,-5)
C)raio 2 e centro nos pontos de coordenadas (2,-5)
D)raio 2 e centro nos pontos de coordenadas (-2,5)
E) raio 5 e centro nos pontos de coordenadas (4,-10)

Answer 1

Resposta:

Ensino médio (secundário)Matemática 5+3 pts

Ao fazer uma planta de uma pista de atletismo,um engenheiro determinou que, no sistema de coordenadas usado,tal pista deveria obedecer a equação:X2 + y2 + 4x - 10y + 25=0desse modo,os encarregados de executar a obra começaram a construção e notaram que se tratava de uma circunferência de ;A) raio 4 e centro nos pontos de coordenadas (-2,5)

B)raio 4 e centro nos pontos de coordenadas (2,-5)

C)raio 2 e centro nos pontos de coordenadas (2,-5)

D)raio 2 e centro nos pontos de coordenadas (-2,5)

E) raio 5 e centro nos pontos de coordenadas (4,-10)

Answer 2

A alternativa correta do enunciado é: D)raio 2 e centro nos pontos de coordenadas (-2,5)

Pela equação geral da circunferência, temos a seguinte fórmula:

$(x-x_o)^{2}+(y-y_o)^{2}=r^{2}$

Onde:

⇒ Coordenada x do centro.

⇒ Coordenada y do centro.

r ⇒ Raio da circunferência.

Desenvolvendo a equação, obtemos:

$(x^{2}-2.x.x_0+(x_o)^{2})+(y^{2}-2.y.y_o+(y_o)^{2})=r^{2}\\ \\x^{2}+y^{2}-2xx_o-2yy_0+(x_o)^{2}+(y_o)^{2}-r^{2}=0$

De acordo com o enunciado temos a seguinte equação:  

$x^2+y^{2}+4x-10y+25=0$

Comparando as partes da equação geral com as da equação do exercício chegamos ao seguinte:

Desenvolvendo a parte que contém x

$-2x.x_o=4x\\ \\x_o=\frac{4x}{-2x}\\ \\x_o=-2$

Desenvolvendo a parte que contém y

$-2y.y_o=-10y\\ \\y_o=\frac{-10y}{-2y}\\ \\y_o=5$

Desenvolvendo as partes que não contém variáveis, ou seja, x ou y.

$(x_o)^{2}+(y_o)^{2}-r^{2}=25\\ \\(-2)^{2}+5^2-r^2=25\\ \\4+25-r^2=25\\ \\r^2=4+25-25\\ \\r^2=4\\ \\r=\sqrt{4}=2$

Dessa forma, obtemos os seguintes resultados:

Coordenadas do centro ⇒ (-2,5)

Raio da circunferência ⇒ 2

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