Matéria: Matemática
Autor: guilhermesotero2
Perguntado 8 anos atrás

Determine a equação no plano tangente a superfície z=f(x,y)=3xy²-10x² no ponto P(1,2,2)

Respostas

respondido por: carlosmath

$\phi(x,y,z)=10x^2-3xy^2+z\\ \\ \texttt{Derivadas parciales:}\\ \\ \phi_x=20x-3y^2\\ \phi_y=-6xy\\ \phi_z=1 \\ \\ \texttt{Ecuaci\'on del plano en el punto }(1,2,2)\\ \\ \phi_x(1,2,2)(x-1)+\phi_y(1,2,2)(y-2)+\phi_z(z-2)=0\\ \\ 8(x-1)-12(y-2)+(z-2)=0\\ \\ \boxed{8x-12y+z=-14}$

respondido por: solkarped

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que a equação geral do plano tangente à referida superfície pelo respetivo ponto é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi:8x - 12y + z + 14 = 0\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases}s: z = f(x, y) = 3xy^{2} - 10x^{2}\\P(1, 2, 2)\end{cases}$

Organizando a equação da superfície, temos:

$\Large\begin{cases} s: 3xy^{2} - 10x^{2} - z = 0\\P(1, 2, 2)\end{cases}$

Para calcular a equação do plano tangente a uma determinada superfície por um determinado ponto de tangência, temos que ter um ponto "P" pertencente ao plano bem como o vetor normal "n" ao plano aplicado ao referido ponto "P", ou seja, precisamos dos seguintes itens:

$\Large\begin{cases} P(X_{P},Y_{P},Z_{P})\\\vec{n_{\pi}} = (X_{n}, Y_{n},Z_{n})\end{cases}$

Devemos montar a equação do plano tangente com a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$}$ $\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{T} + Y_{n}\cdot Y_{T} + Z_{n}\cdot Z_{T}\end{gathered}$}$

OBS: A partir de agora, todas as vezes que me referir à função "f" estarei me referindo à função que originou a superfície.

Para montar a equação do plano tangente, devemos:

Verificar se o ponto "P" pertence à superfície "s". Caso positivo, existe sim plano tangente à referida superfície. Caso contrário, não existe plano tangente. Para isso, devemos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 3\cdot1\cdot2^{2} - 10\cdot1^{2} - 2 = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 3\cdot1\cdot4 - 10\cdot1 - 2 = 0 \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 0 = 0\end{gathered}$}$

Como, ambos os membros da equação "II" são iguais, então o ponto "P" pertence à superfície. Então:

Calcular a derivada parcial da função em termos de "x".

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial x} = 3\cdot1\cdot x^{1 - 1}\cdot y^{2} - 10\cdot2\cdot x^{1 - 1} = 3y^{2} - 20x\end{gathered}$}$

Calcular a derivada parcial da função em termos de "y".

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial y} = 3\cdot x\cdot2\cdot y^{2 - 1} = 6xy\end{gathered}$}$

Calcular a derivada parcial da função em termos de "z".

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial z} = -1\cdot z^{1 - 1} = -1\end{gathered}$}$

Montar o vetor gradiente.

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \nabla f(x, y, z) = \Bigg(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\Bigg)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (3y^{2} - 20x, 6xy, -1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:\nabla f(x, y, z) = (3y^{2} - 20x, 6xy, -1)\end{gathered}$}$

Montar o vetor normal.

Sabemos que o vetor normal é igual ao vetor gradiente aplicado ao ponto "T", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{n_{\pi}} = \nabla f(T)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \Bigg(\frac{\partial f}{\partial x}\cdot X_{T},\,\frac{\partial f}{\partial y}\cdot Y_{T},\,\frac{\partial f}{\partial z}\cdot Z_{T}\Bigg)\end{gathered}$}$