Question

Os pontos A, B e C são colineares, AB = 5, BC = 2 e B está entre A e C. Os pontos C e D pertencem a uma circunferência com centro em A. Traça-se uma reta r perpendicular ao segmento BD passando pelo seu ponto médio. Chama-se de P a interseção de r com AD. Então, AP + BP vale

a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8

Answer 1

I) Como r é mediatriz de BD e P ∈ r, temos PD = BP

II) O raio da circunferência é AB + BC = 5 + 2 = 7.

III) AP + BP = AP + PD = AD = 7, porque AD é o raio da circunferência de centro A.

Observe também a imagem da resolução abaixo.

Answer 2

Com base na posição de cada um dos pontos descritos, temos que AP + BP = 7.

Para chegar a essa resposta foi preciso saber alguns conceitos básicos de geometria, como mediatriz e raio da circunferência.

Geometria Básica

• Três pontos são considerados colineares quando eles pertencem a uma mesma reta.
• O raio da circunferêcia é a distância entre o centro da circunferência e qualquer um dos pontos pertencentes a essa circunferência.
• A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular a esse segmento que passa pelo seu ponto médio.

Com base nessas informações é possível traçar o posicionamento de cada um dos pontos (vide imagem).

Para resolver a questão basta saber que, se o ponto P pertence a mediatriz de BD, quer dizer que não somente ele divide BD em duas partes iguais, como também o triângulo BPD possui os lados BP e PD iguais.

Sendo assim, uma vez que BP e PD são iguais e que AD é iguai ao raio da circunferência, temos que:

raio = AB + BC = 5 + 2 = 7

AD = raio = 7

AD = AP + PD = 7

Como BP = PD, temos:

AP + BP = 7

Logo, a alternativa correta é letra d.

Aprenda mais sobre mediatriz aqui:

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