• Matéria: Matemática
  • Autor: babi0606
  • Perguntado 8 anos atrás

Sejam r e s duas retas que se interceptam segundo um ângulo de 60. Seja C1 uma circunferência de 3cm de raio, cujo centro O se situa em s, a 5cm de r. A medida do raio da menor circunferência tangente à C1 e à reta r, cujo centro também se situa na reta s, vale:

resposta: 29 - 16√3


resolução??


edadrummond: Tem certeza da resposta ? Sua resposta dá aproximadamente 1,28 .Pela lógica r devia ser menor do que 1. Minha solução deu 4 raiz de 3 -6 que dá aproximadamente 0,928.
edadrummond: Reconsiderando , a resposta está certa . Vou postar a solução.

Respostas

respondido por: edadrummond
3
Boa tarde 

Seja x a medida do raio .

A é a interseção das retas r  e  s .
C é a interseção da reta r com a reta que passa por O e contem OC [ OC=5cm]

O triângulo CAO é retângulo em C

sen  60^{o} =  \frac{OC}{AO} = \frac{5}{AO}= \frac{ \sqrt{3} }{2} \Rightarrow \boxed{AO= \frac{10 \sqrt{3} }{3} }

OF = 3 + x

AF = AO - OF ⇒AF = AO-3-x

Triângulo CAO é semelhante ao triângulo GAF

 \frac{AF}{AO}= \frac{GF}{CO}  \Rightarrow  \frac{AO-3-x}{AO}= \frac{x}{5} \\  \\ 5AO-15-5x=AO*x\Rightarrow AO*x+5x=5AO-15 \\  \\ x*(AO+5)=5AO-15\Rightarrow x= \frac{5AO-15}{AO+5}

Substituindo

x= \frac{5* \frac{10 \sqrt{3} }{3}-15 }{ \frac{10 \sqrt{3} }{3}+5 } = \frac{ \frac{50 \sqrt{3}-45 }{3} }{ \frac{10 \sqrt{3}+15 }{3} } = \frac{50 \sqrt{3}-45 }{10 \sqrt{3}+15 }= \frac{10 \sqrt{3}-9 }{2 \sqrt{3}+3 }

Racionalizando

x= \frac{(10 \sqrt{3}-9 )(2 \sqrt{3}-3 )}{(2 \sqrt{3}+3 )(2 \sqrt{3}-3 )} = \frac{60-30 \sqrt{3}-18 \sqrt{3}+27  }{12-9}  \\  \\  \frac{87-48 \sqrt{3} }{3} \Rightarrow \boxed{x=29-16 \sqrt{3} }
Anexos:

babi0606: https://brainly.com.br/tarefa/12733992
babi0606: Mto obg!!!! Se vc puder reposnder essa questão do link^..., só que essa vale só 20 pontos
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