Question

Determine a equação da reta que tangencia a circunferência

x²+ y² = 16 no ponto P (-2✓2, 2✓2).

Answer 1

Olá.

Essa questão é de simples resolução. Basta descobrirmos o coeficiente angular da reta no ponto dado e poderemos montar a equação da reta.

O coeficiente angular num ponto vale a derivada primeira da função nesse ponto. Logo, vamos diferenciar ambos os lados com respeito a x. Vale lembrar que y é, na verdade y(x), então usaremos a regra da cadeia nessa função definida implicitamente.

$\mathsf{\dfrac{d}{dx}(x^2+y^2) = \dfrac{d}{dx}16}\\ \\ \\ \mathsf{\dfrac{d}{dx}x^2+\dfrac{d}{dx}y^2 = 0}\\ \\ \\ \mathsf{2x+2y\dfrac{dy}{dx} = 0}\\ \\ \\ \boxed{\mathsf{\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}}}$


Para o ponto P dado, se fizermos a substituição das coordenadas na derivada, obteremos imediatamente 1, que é o coeficiente angular.


Logo, a reta será:

$\mathsf{y-y_0=m(x-x_0)}\\ \\ \mathsf{y -2\sqrt2 = 1(x+2\sqrt2)}\\ \\ \\ \boxed{\mathsf{y = x+4\sqrt2}}$