Question

Resolva em C (complexos) a equação:
x³-60x²+1100x-6000=0, sabendo que suas raízes estão em progressão aritmética (PA).

Answer 1

Jonathan.

Dado o polinômio.

$x^{ 3 }-60x^{ 2 }+1100x-6000=0$

Segundo as propriedades da P.A a soma dos extremos dividido por 2 é igual ao termo do meio.

$(x1,x2,x3)\\ \\ \frac { x1+x3 }{ 2 } =x2$

Passando o 2 para o outro lado multiplicando.

$x1+x3=2x2$



Pela relação de Girard temos:

$x1+x2+x3=-\frac { b }{ a } \\ \\ x1x2+x1x3+x2x3=\frac { c }{ a } \\ \\ x1*x2*x3=-\frac { d }{ a }$

Substituindo teremos:

$x1+x2+x3=60\\ \\ x1x2+x1x3+x2x3=1100\\ \\ x1*x2*x3=6000$


Agora vamos resolver:

Sabendo que x1+x3=2x2 teremos:

$x1+x2+x3=60\\ \\ x2+2x2=60\\ 3x2=60\\ x2=\frac { 60 }{ 3 } \\ \\ x2=20$


Substituindo na P.A acharemos:

$\frac { x1+x3 }{ 2 } =x2\\ \\ \frac { x1+x3 }{ 2 } =20\\ \\ x1+x3=40$



Agora vamos resolver o produto de 2 a 2.

$x1x2+x1x3+x2x3=1100$

Colocando o x2 em evidência.

$x2(x1+x3)+x1x3=1100$

Fazendo a substituição:

$20(40)+x1x3=1100\\ 800+x1x3=1100\\ x1x3=1100-800\\ x1x3=300\\ x3=\frac { 300 }{ x1 }$


Voltando para a soma e substituindo os valores:

$x1+x2+x3=60\\ x1+20+\frac { 300 }{ x1 } =60\\ \\ x1+\frac { 300 }{ x1 } =60-20\\ \\ x1+\frac { 300 }{ x1 } =40\\ \\ \frac { x1^{ 2 }+300=40x1 }{ x1 } \\ \\ x1^{ 2 }-40x1+300=0$

Resolvendo a equação:

$(x1-30)(x1-10)\\ \\ x1-30=0\\ x1=30\\ \\ x1-10=0\\ x1=10\\ \\ \\ x1=10$


Substituindo no x3.

$x3=\frac { 300 }{ 10 } \Rightarrow 30\\ \\ x3=\frac { 300 }{ 30 } \Rightarrow 10$

As raízes são:

$x1=10\\ x2=20\\ x3=30$

Answer 2

 Consideremos o conjunto solução dado por: S = {x', x'', x'''}. 
 
 Ora, se forma um P.A de razão "r", podemos fazer:

a_1 = x' =====> a_1 =  x - r ======> x' = x - r
a_2 = x'' ====> a_2 = x =========> x'' = x
a_3 = x''' ====> a_3 = x + r ======> x''' = x + r
 
 Aplicando as "Relações de Girard",

Soma:

$x'+x''+x'''=-\frac{b}{a}\\\\(x-r)+x+(x+r)=-\frac{-60}{1}\\\\3x=60\\\\\boxed{x=20}$
 
 Como podes notar, uma das raízes é 20!


Produto:

$x'\cdot\,x''\cdot\,x'''=-\frac{d}{a}\\\\(x-r)\cdot\,x\cdot(x+r)=-\frac{-6000}{1}\\\\20(20-r)(20+r)=6000\\\\(400-r^2)=300\\\\r^2=100\\\\\boxed{r=\pm10}$
 
 
 Bom! Agora fica fácil encontrar as raízes, veja:
 
Quando a razão for $- 10$: as raízes irão formar uma sequência decrescente.

x'' = 20
x' = x - r ======> x' = 20 - (- 10) =====> x' = 30
x''' = x + r =====> x''' = 20 + (- 10) ===> x''' = 10


Quando a razão for $+ 10$: as raízes irão formar uma sequência crescente.

x'' = 20
x' = x - r ======> x' = 20 - (+ 10) =====> x' = 10
x''' = x + r =====> x''' = 20 + (+ 10) ===> x''' = 30

  De qualquer forma, o conjunto solução será o mesmo. Daí, $\boxed{\boxed{S=\left\{10,20,30\right\}}}$