Question

determine as inversas das matrizes :

A=$\left[\begin{array}{ccc}4&3\\1&1\\\end{array}\right]$

B= $\left[\begin{array}{ccc}3&4\\2&3\\\end{array}\right]$

Answer 1

$A = \left[\begin{array}{cc}4&3\\1&1\\\end{array}\right]$

A matriz inversa $A^{-1}$ possui a mesma ordem (2x2), simbolizada por letras, vejamos:

$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]$

A matriz identidade é representada por:

$I_n = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

A multiplicação das duas matrizes acima, resultam na matriz identidade:

$A*A^{-1} = I_n$

$\left[\begin{array}{cc}4&3\\1&1\\\end{array}\right]*\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

Temos multiplicação de matrizes de ordem (2x2), atente-se bem às regras de multiplicação:
1- Multiplique os elementos da primeira linha da matriz A pelos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A e some-os.
2- Multiplique os elementos da segunda linha da matriz A pelos elementos da segunda coluna da matriz inversa de A e some-os.
3- Igualamos a multiplicação das matrizes A e inversa de A com a matriz identidade.

$\left[\begin{array}{cc}4*a+3*c&4*b+3*d\\1*a+1*c&1*b+1*d\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

Temos dois sistemas de equações e vamos resolver cada um:

$1\º \left \{ {{4a+3c=1} \atop {1a+1c=0}} \right.$

$\left \{ {{4a+3c=1\;(I)} \atop {1a+1c=0\:(II)}} \right.$

$\left \{ {{4a+3c=1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \atop {1a+1c=0\:\:*(-3)}}$

$\left \{ {{4a+\diagup\!\!\!\!3c=1} \atop {-3a-\diagup\!\!\!\!3c=0}}$

$\left \{ {{4a=1} \atop {-3a=0}} ------------ \boxed{a = 1}$

Substitui na equação (I), temos o valor de "c":
$4a+3c=1$
$4*1 + 3c = 1$
$4+3c = 1$
$3c = 1-4$
$3c = -3$

$c = \dfrac{-3}{3} \to \boxed{c = -1}$

$2\º \left \{ {{4b+3d=0} \atop {1b+1d=1}} \right.$

$\left \{ {{4b+3d=0\;(I)} \atop {1b+1d=1\:(II)}} \right.$

$\left \{ {{4b+3d=0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \atop {1b+1d=1\:\:*(-3)}}$

$\left \{ {{4b+\diagup\!\!\!\!3d=0} \atop {-3b-\diagup\!\!\!\!3d=-3}}$

$\left \{ {{4b=0} \atop {-3b=-3}} ------------ \boxed{b = -3}$

Substitui na equação (I), temos o valor de "d":
$4b+3d=0$
$4*(-3) + 3d = 0$
$-12+3d = 0$
$3d = 12$

$d = \dfrac{12}{3} \to \boxed{d = 4}$

Matriz inversa de A:

$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]$

$\boxed{\boxed{A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}1&-3\\-1&4\\\end{array}\right]}}\end{array}}\qquad\checkmark$

-----------------------------------------------------------------

$B = \left[\begin{array}{cc}3&4\\2&3\\\end{array}\right]$

A matriz inversa $B^{-1}$ possui a mesma ordem (2x2), simbolizada por letras, vejamos:

$B^{-1} = \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]$

A matriz identidade é representada por:

$I_n = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

A multiplicação das duas matrizes acima, resultam na matriz identidade:

$B*B^{-1} = I_n$

$\left[\begin{array}{cc}3&4\\2&3\\\end{array}\right]*\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

Temos multiplicação de matrizes de ordem (2x2), atente-se bem às regras de multiplicação:
1- Multiplique os elementos da primeira linha da matriz B pelos elementos da primeira coluna da matriz inversa de B e some-os.
2- Multiplique os elementos da segunda linha da matriz B pelos elementos da segunda coluna da matriz inversa de B e some-os.
3- Igualamos a multiplicação das matrizes B e inversa de B com a matriz identidade.

$\left[\begin{array}{cc}3*a+4*c&3*b+4*d\\2*a+3*c&2*b+3*d\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

Temos dois sistemas de equações e vamos resolver cada um:

$1\º \left \{ {{3a+4c=1} \atop {2a+3c=0}} \right.$

$\left \{ {{3a+4c=1\;(I)} \atop {2a+3c=0\:(II)}} \right.$

$\left \{ {{3a+4c=1}\:\:*(3)\atop {2a+3c=0\:\:*(-4)}}$

$\left \{ {{9a+\diagup\!\!\!\!12c=3}\atop {-8a-\diagup\!\!\!\!12c=0}} ----------------- \boxed{a = 3}$

Substitui na equação (I), temos o valor de "c":
$3a+4c=1$
$3*3 + 4c = 1$
$9+4c = 1$
$4c = 1-9$
$4c = -8$

$c = \dfrac{-8}{4} \to \boxed{c = -2}$

$2\º \left \{ {{3b+4d=0} \atop {2b+3d=1}} \right.$

$\left \{ {{3b+4d=0\;(I)} \atop {2b+3d=1\:(II)}} \right.$

$\left \{ {{3b+4d=0}\:\:*(3)\atop {2b+3d=1\:\:*(-4)}}$

$\left \{ {{9b+\diagup\!\!\!\!12d=0}\atop {-8b-\diagup\!\!\!\!12d=-4}} ----------------- \boxed{b = -4}$

Substitui na equação (I), temos o valor de "d":
$3b+4d=0$
$3*(-4) + 4d = 0$
$-12+4d = 0$
$4d = 12$

$d = \dfrac{12}{4} \to \boxed{d = 3}$

Matriz inversa de B:

$B^{-1} = \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]$

$\boxed{\boxed{B^{-1} = \left[\begin{array}{cc}3&-4\\-2&3\\\end{array}\right]}}\end{array}}\qquad\checkmark$

Answer 2

A=

4   3   |    1    0

1   1   |    0  1

L1<>L2

1   1    |    0    1

4   3   |    1    0

L2<--L2-4L1

1    1    |    0    1

0   -1   |    1    -4

L1<--L1+L2

1    0    |    1    -3

0   -1   |    1    -4

L2<--(-1)*L2

1    0    |     1    -3        ==> A-¹  =     1       -3

0    1    |    -1     4                            -1        4

_____________________________________________

B=

3    4     |    1     0

2    3     |    0     1

L1<--L1-L2

1    1     |    1     -1

2    3     |    0     1

L2<--L2-2L1

1    1     |     1     -1

0    1     |    -2     3

L1<--L1-L2

1    0     |      3    -4   ==>B-¹  =   3    -4

0    1     |     -2     3                    -2     3