Question

Quantos termos tem a P.G. finita (3, 6, 12, ... 192)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Mateus, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se o número de termos da seguinte PG finita:

(3; 6; 12; .....; 192)

ii) Agora note: temos aí em cima uma PG, cujo primeiro termo (a₁) é igual a "3" e cuja razão (q) é igual a "2", pois a razão (q) de uma PG é constante e é encontrada pela divisão de cada termo consequente pelo seu respectivo antecedente, ou seja, na PG da sua questão, temos que:

q = 12/6 = 6/3 = 2.

iii) Agora vamos encontrar qual é o número de termos dessa PG.
Para isso, basta que apliquemos a fórmula do termo geral de uma PG que é esta:

an = a₁*qⁿ⁻¹

Na fórmula acima, "an" é o termo que se quer encontrar. Como queremos encontrar o valor de "n" (que é o número de termos) em função do valor do último termo (192), então substituiremos "an" por "192". Por sua vez, substituiremos "a₁" por "3", que é o valor do primeiro termo. Por seu turno, substituiremos "q" por "2", que é o valor da razão. Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

192 = 3*2ⁿ⁻¹ ------ para facilitar, vamos apenas inverter, ficando:
3*2ⁿ⁻¹ = 192 ---- agora isolamos 2ⁿ⁻¹, ficando:
2ⁿ⁻¹ = 192/3 ---- note que esta divisão dá exatamente "64". Logo:
2ⁿ⁻¹ = 64 --- agora note que 64 = 2⁶ . Assim, substituindo, teremos:
2ⁿ⁻¹ = 2⁶ ---- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:
n-1 = 6
n = 6 + 1
n = 7 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o número de termos da PG da sua questão.

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, vamos ver qual será esta PG com os seus 7 termos, sendo o primeiro igual a "3" e o último igual a "192". Vamos aplicar a razão (q = 2)  a partir do primeiro termo (a₁ = 3) para encontra todos os demais termos. Assim teremos:

a₁ = 3
a₂ = 3*2 = 6
a₃ = 6*2 = 12
a₄ = 12*2 = 24
a₅ = 24*2 = 48
a₆ = 48*2 = 96
a₇ = 96*2 = 192 <--- Olha aí como o 7º termo é realmente igual a "192".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.