A ampulheta é um dos mais antigos instrumentos utilizados para medir o tempo. Ela consiste em dois recipientes transparentes que se unem por meio de um pequeno orifício, por onde a areia que está no recipiente superior escorre para o inferior a uma vazão constante.
O período marcado corresponde ao tempo necessário para que toda a areia de um recipiente desça para o outro. A ampulheta representada a seguir é formada por dois cones idênticos, e a
quantidade de areia no seu interior corresponde a 30% da capacidade de um desses cones. Para que toda a areia escoe de um cone para outro são necessários 30 minutos.
A ampulheta representada a seguir é formada por dois cones idênticos, e a
quantidade de areia no seu interior corresponde a 30% da capacidade de um desses cones. Para que toda a areia escoe de um cone para outro são necessários 30 minutos.
a) Qual é o volume de areia, em centímetros cúbicos, no interior da ampulheta?
b) Quantos centímetros cúbicos de areia são necessários acrescentar na ampulheta para que ela registre períodos de 40 minutos?
Respostas
r = 6/2
r = 3 cm de raio
a altura de apenas um cone ...
20/2 = 10 cm é a altura
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a)
Basta calcular o volume do cone ...
V = (π.r².h)/3
V = (π.3².10)/3
V = (π.9.10)/3
V = 90π/3
V = 30 π cm³
como a areia é apenas 30 % ...
100 % ------ 30 π
30 % ------- x
100x = 30 . 30π
x = 900π/100
x = 9π cm³ é o volume da areia
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b) 40%
regra de 3 ...
30 ----- 9π
40 ----- x
30x = 9π.40
x = 9.4/3
x = 3.4
x = 12 π cm³ para 40 %
12π - 9π = 3π cm³ deverá ser acrescentado. ok
a) O volume de areia no interior da ampulheta é 27 cm³.
b) São necessários acrescentar 9 cm³ para que o tempo seja de 40 minutos.
Cálculo de volumes
O volume de um corpo ou sólido é definido com a quantidade de espaço que este ocupa. O volume de um cone é dado pela seguinte fórmula:
V = (1/3)·πr²h
Sabemos que a altura da ampulheta é de 20 cm e que o diâmetro dos cones é 6 cm, então a altura e raio de cada cone medem 10 cm e 3 cm, respectivamente.
Seja π = 3, o volume de cada cone é:
V = (1/3)·10·3·3²
V = 90 cm³
a) O volume de areia é 30% do volume de cada cone, logo:
V(areia) = 30% · 90 cm³
V(areia) = 27 cm³
b) Se 27 cm³ correspondem a 30 minutos, então pela regra de três:
27 cm³ ⇔ 30 minutos
x cm³ ⇔ 40 minutos
30x = 27·40
x = 1080/30
x = 36 cm³
Deve-se adicionar 36 - 27 = 9 cm³ de areia.
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