Question

uma região retangular tem 36 m de área. Aumentando 1 m no comprimento e 1 m na largura, a nova região retangular passa a ter 50 m de área. O perímetro da primeira região é de:
a) 26 m c) 24 m
b) 28 m d) 30 m

Answer 1

 Dados:

Retângulo 1: 
A = 36 m²
b = x
h = y
P = ?

Retângulo 2:
A = 50 m²
b = x + 1
h = y + 1

Cálculo:

Área do Retângulo 1:

A = b.h
36 = x.y
x.y = 36

Área do Retângulo 2:

A = b.h
50 = (x + 1).(y + 1)
xy + x + y + 1 = 50


Através dessas duas equações podemos descobrir o valor das incógnitas utilizando o método da substituição:

$\displaystyle \mathsf{ \left \{ {{x.y = 36\: (I)} \atop {xy + x + y + 1 = 50 \:(II)}} \right. }$

x.y = 36 (I)
$\displaystyle \mathsf{x = \frac{36}{y}}$

Substituindo I em II para descobrir o valor de y:

xy + x + y + 1 = 50

$\displaystyle \mathsf{x = \frac{36}{y}}$

$\displaystyle \mathsf{\frac{36}{y}.y + \frac{36}{y} + y + 1 = 50}\\ \\ \displaystyle \mathsf{\frac{36y}{y} + \frac{36}{y} + y + 1 = 50}\\ \\ \displaystyle \mathsf{\frac{36y}{y} + \frac{36}{y} + \frac{y}{1} +\frac{1}{1} = \frac{50}{1}}\\ \\ \displaystyle \mathsf{\frac{36y + 36 + y^2 + y = 50y}{y}}\\ \\ \displaystyle \mathsf{36y + 36 + y^2 + y = 50y}\\ \displaystyle \mathsf{y^2 + 36y + y - 50y + 36 = 0}\\ \displaystyle \mathsf{y^2 - 13y + 36 = 0}$

$\displaystyle \mathsf{\Delta = b^2 - 4.a.c}\\ \displaystyle \mathsf{\Delta = (-13)^2 - 4.(1).(36)}\\ \displaystyle \mathsf{\Delta = 169 - 144 }\\ \displaystyle \mathsf{\Delta = 25 }$

$\displaystyle \mathsf{y = \frac{-b \: \pm \: \sqrt{\Delta}}{2a}}\\ \\ \displaystyle \mathsf{y = \frac{13 \: \pm \: 5 }{2}}\\ \\ \displaystyle \mathsf{y' = 9 \: m}\\ \displaystyle \mathsf{y'' = 4 \: m }$

Descobrindo x:

$\displaystyle \mathsf{x' = \frac{36}{y'}}\\ \\ \displaystyle \mathsf{x' = \frac{36}{9} = 4 m}\\ \\ \\ \displaystyle \mathsf{x'' = \frac{36}{y''}}\\ \\ \displaystyle \mathsf{x'' = \frac{36}{4} = 9 m}$

Calculando o perímetro:

P' = 2(x' + y')
P' = 2(4 + 9)
P' = 2.13
P' = 26 m

P'' = 2(x" + y")
P" = 2(9 + 4)
P" = 2.13
P" = 26 m

Resposta: Alternativa a