Question

dado o gráfico formado pelas. y=4x , y=4 e x=0 calcular o volume do sólido de resolução em torno do eixo x

Answer 1

Olá! Primeiramente teremos que encontrar a interseção entre as funções dado pelo seguinte sistema linear:

$\displaystyle \left \{ {{y=4x} \atop {y=4}} \right.$

Multiplicando o segundo membro por -1, temos o seguinte resultado:

$\displaystyle \left \{ {{y=4x} \atop {-y=-4}} \right. \\ \\ \\ 0 = 4x-4 \\ \\ -4x+4=0 \\ \\ -4x=-4 \\ \\ x=1$

Já temos os limites de integração: I = [0,1].

A rotação da área entre as curvas y = 4 e y = 4x de 0 a 1 em torno do eixo x nos dará uma arruela de raio externo 4 e raio interno 4x. Fazendo o seguinte procedimento, poderemos encontrar o volume desse sólido:

$\displaystyle V = \int_{a}^{b} A(x) \, \, dx \\ \\ \\ A(x) = \pi \cdot (\mathsf{raio \, \, externo})^2 - \pi \cdot (\mathsf{raio \, \, interno})^2 \\ \\ A(x) = \pi \cdot 4^2 - \pi \cdot (4x)^2 \\ \\ A(x) = 16 \pi \cdot (1-x^2)$

Daí temos:

$\displaystyle V = \int_{0}^{1} 16 \pi \cdot (1-x^2) \, \, dx \\ \\ \\ 16 \pi \cdot \int_{0}^{1} (1-x^2) \, \, dx \\ \\ \\ 16 \pi \cdot \Bigg( \, x - \frac{x^3}{3} \Bigg) \\ \\ \\ 16 \pi x - \frac{16 \pi x^3}{3} \, \, \Bigg]_{0}^{1} \, \\ \\ \\ \Bigg( 16 \pi \cdot 1 - \frac{16 \pi \cdot 1^3}{3} \Bigg) - \Bigg( 16 \pi \cdot 0 - \frac{16 \pi \cdot 0^3}{3} \Bigg) \\ \\ \\ 16 \pi - \frac{16 \pi}{3} \\ \\ \\ V = \frac{32 \pi}{3}$