Question

Determine o conjunto-solução da equação: a) 4x3-8x2-29x-12-0, sabendo que 4 é raiz b) 6x4-14x3-26x2+46x-12-0, sabendo que 1 e -2 são raízes?

Answer 1

Se 'a' é raiz de um polinômio, esse polinômio é divisível por (x - a)
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a)

Se 4 é raiz do polinômio, o polinômio é divisível por (x - 4)

Dividindo o polinômio por (x - 4) por briot-ruffini, temos:

$4x^{2}+8x+3=0\\\\\Delta=8^{2}-4\cdot4\cdot3\\\Delta=64-48\\\Delta=16\\\\x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-8\pm\sqrt{16}}{2\cdot4}=\dfrac{-8\pm4}{8}=\dfrac{-2\pm1}{2}$

Logo, as raízes serão:

$x'=\dfrac{-2+1}{2}=-\dfrac{1}{2}\\\\\\x''=\dfrac{-2-1}{2}=-\dfrac{3}{2}\\\\\\\\\boxed{\boxed{S=\left\{-\dfrac{3}{2}~,~-\dfrac{1}{2}~,~4\right\}}}$

b)

O polinômio será divisível por (x - 1) e (x - [-2])

Dividindo o polinômio por (x - 1), temos quociente 6x³ - 8x² - 34x + 12

Dividindo 6x³ - 8x² - 34x + 12 por (x + 2), teremos:

$6x^{2}-20x+6=0~~~(\div2)\\3x^{2}-10x+3=0\\\\\Delta=b^{2}-4ac\\\Delta=(-10)^{2}-4\cdot3\cdot3\\\Delta=100-36\\\Delta=64\\\\x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-10)\pm\sqrt{64}}{2\cdot3}=\dfrac{10\pm8}{6}=\dfrac{5\pm4}{3}$

Raízes:

$x'=\dfrac{5+4}{3}=\dfrac{9}{3}=3\\\\\\x''=\dfrac{5-4}{3}=\dfrac{1}{3}\\\\\\\\S=\left\{-2~,~\dfrac{1}{3}~,~1~,~3\right\}$