Question

Determine todos os valores reais de x, de modo que o número (x^4 -16) + (x + 2)i seja imaginário puro.

Answer 1

Olá!

Para que um complexo da forma $z=a+bi$ seja imaginário puro, é necessário que tenhamos $a=0$ e $b\neq0$. Ou seja, queremos que o número seja da forma $z=bi$.

No caso, foi dado o seguinte complexo:

$z=\underbrace{(x^4-16)}_{a}+\underbrace{(x+2)}_{b}i$

Então, pelo que vimos antes, para que o número seja imaginário puro, devemos ter:

$\bullet~a=0:\\\\ x^4-16=0\Longrightarrow x^4=16\\\\ x^2=\pm\sqrt{16}\Longrightarrow x^2=\pm4$

Mas, como $x\in\mathbb{R}$, apenas podemos ter $x^2=4$. Continuando:

$x^2=4\Longrightarrow x=\pm\sqrt{4}\Longrightarrow x=\pm2\\\\ x=-2~~~ou~~~x=2$


$\bullet~b\neq0\\\\ x+2\neq0\Longrightarrow x\neq-2$


Então, a única solução possível para a questão é $\boxed{\boxed{x=2}}$